le sens des opérations, exercices sur ordinateur à télécharger

[Fulbert]

Après des activités de conjugaison, je vous propose une série d’exercices gratuits à télécharger pour faire travailler vos élèves sur le sens des opérations (quand faut-il choisir une addition, une soustraction, une multiplication ou une division pour trouver le résultat d’une situation problématique?) Je ne demande pas le résultat chiffré mais d’accoler le signe +, -, x ou : à la situation qui lui correspond, cela en déplaçant avec la souris le signe d’opération vers la gauche. C’est une hot potatoe (un grand merci à monsieur Holmes).

https://www.dropbox.com/s/e6hrl6v1qu5km24/situationsAvecDivisions.zip?dl=0

[vieuxmatheux]

Outre qu'il y a une erreur d'étourderie sur la place de ce sujet, qui devrait être déplacé vers l'élémentaire, je ne vois pas l'intérêt de ce genre d'exercices.

Trouver l'opération sans chercher le résultat renforce chez les élèves plusieurs idées et comportements qui contribuent à leurs difficultés avec les problèmes numériques :

On leur dit explicitement que résoudre un problème numérique, c'est trouver la "bonne" opération… pourtant il peut y avoir plusieurs démarches, sans compter qu'il y a des problèmes qui se résolvent sans opération. Cette approche m'a toujours semblé relever plus de la devinette que des mathématiques.

Exemple de problème ne nécessitant pas d'opération : peut on mettre dans un camion qui peut accepter une charge de 9000 kg des objets dont les masses sont respectivement

900 kg 587 kg 820 kg 788 kg 300 kg et 579 kg. Réponse : Oui, puisqu'il y a moins de 9 objets pesant chacun moins de 1000 kg.

 

Si on ne va pas jusqu'au résultat numérique, il est impossible de vérifier le résultat. C'est pourtant essentiel si on veut installer l'idée qu'en mathématiques comme ailleurs on s'efforce de dire des choses vraies. L'élève qui a trouvé que l'armoire mesure 90 cm de large, va la mesurer, et découvre qu'en réalité elle mesure 110 cm n'est pas du tout dans la même situation que celui qui a coché qu'il fallait faire une soustraction et à qui on répond que non, ce n'est pas la bonne opération.

Sans compter que si on décide qu'il faut faire une division alors que l'énoncé comporte les nombres 160 et 20 sans demander s'il faut diviser 160 par 20 ou 20 par 160, on risque fort de renforcer l'idée qu'il faut toujours diviser le grand nombre par le petit… très fâcheux

[Fulbert]

Je n'ai pas l'intention d'entrer dans une polémique ...

Votre dernière remarque ( nombres 160 et 20) est juste sauf que la correction va lui dire: tes habitudes sont mauvaises, il faut réfléchir au delà, te méfier de la paresse intellectuelle. Votre exemple à propos du camion n'est pas dans le champ d'apprentissage que je me donne: augmenter, diminuer, augmenter par quantités semblables, diminuer par quantités semblables. Que signifient ces mots? savoir les discriminer. Il est sûr qu'on est à la frontière de la lecture- compréhension du texte et de la situation autant que des mathématiques. De l'interdisciplinarité. Oui, c'est une attitude de primaire. Voir la situation, le contexte factuel, ce qui se passe autant que les nombres purs. Si vous enseignez au collège, vous avez peut-être dans votre auditoire des élèves de niveau très faible, ils vont se multiplier. Je ne cherche pas encore à leur faire faire des maths abstraites (elles ne sont une fin en soi que pour certaines personnes), seulement à leur faire prendre du recul, à "vivre" l'histoire. Oui, il est impossible de vérifier le résultat sauf à cliquer sur corriger. Cela devient intéressant si l'enfant se dit pourquoi ai-je faux à cet endroit? Le maître a tort. Je vais m'attarder un peu là-dessus pour comprendre ou en discuter avec un adulte. En fait, je m'attendais à d'autres types de réactions: quand donner ces exercices à l'élève? A qui les proposer? Quand lui dire ça suffit c'est maintenant trop facile pour toi, tu t'arrêtes. En outre, malgré l'autocorrection, il reste utile qu'un adulte soit à proximité surtout pour les enfants qui peinent.

Cet exercice est adapté d'un travail plus ancien que je dois passer en HTML 5. Je l'avais soumis à des sites américains. Beaucoup d'exercices concernaient la lecture et je n'ai aucune intention d'abandonner. On trouve peu de  ressources spécifiques aux enseignants sur internet pour bien des raisons. Il y a un aspect oeuvre personnelle dans ce métier, quelque chose de subjectif dans les choix pédagogiques et le problème est de se faire connaître. On ne peut se cantonner à défendre une seule matière, en l'occurrence les mathématiques de plus en plus pures chez une majorité qui la pratiquera peu. Mon intention n'est pas de gagner de l'argent mais de proposer des possibilités parmi lesquelles choisir selon ses options personnelles, d'être utile...avant ma fin.

Respectueusement.

[valdeloise]

Il y a 4 heures, vieuxmatheux a dit :

Trouver l'opération sans chercher le résultat

Mathématiquement, une bonne opération EST un résultat. 4 x 2 et 8 sont différentes écritures d'un même nombre. Si l'élève trouve la bonne opération, alors il a trouvé le résultat. L'écrire sous forme d'un nombre entier relève de la technique de calcul, qui est un autre problème.

L'important est de savoir quoi faire des données d'un problème: s'agit-il de trouver l'écart entre deux nombres? d'effectuer un partage équitable? Etc...

En cela, je trouve que l'exercice qui consiste à choisir la bonne opération (et donc le bon résultat) est pertinent.

[vieuxmatheux]

il y a 34 minutes, Fulbert a dit :

Oui, il est impossible de vérifier le résultat sauf à cliquer sur corriger. Cela devient intéressant si l'enfant se dit pourquoi ai-je faux à cet endroit? Le maître a tort. Je vais m'attarder un peu là-dessus pour comprendre ou en discuter avec un adulte.

C'est extrêmement optimiste, pour ne pas dire naïf.

Quand on dit à un élève qu'il "a faux", il ne se dit pas que c'est le maître qui se trompe, il essaie généralement de trouver des trucs pour avoir "bon" la fois d'après. Mais retenir des trucs, ce n'est pas faire des maths.

il y a 37 minutes, Fulbert a dit :

On ne peut se cantonner à défendre une seule matière, en l'occurrence les mathématiques de plus en plus pures chez une majorité qui la pratiquera peu.

J'avoue être assez surpris du reproche implicite de purisme. Si vous prenez le temps d'aller voir un peu mes propositions, elle sont discutables (comme toutes les propositions, je suis d'accord avec vous sur la partie subjective du métier) mais on ne peut vraiment pas dire qu'elles tombent dans le purisme mathématique. 

Refuser de réduire la résolution de problème à la simple recherche de la "bonne" opération, ce n'est pas du purisme, c'est considérer les élèves comme des personnes intelligentes.

[vieuxmatheux]

il y a 13 minutes, valdeloise a dit :

Mathématiquement, une bonne opération EST un résultat. 4 x 2 et 8 sont différentes écritures d'un même nombre. Si l'élève trouve la bonne opération, alors il a trouvé le résultat. L'écrire sous forme d'un nombre entier relève de la technique de calcul, qui est un autre problème.

C'est vrai sur le principe, mais 25 x 30 et 750 sont deux écritures qui ne donnent pas les mêmes informations sur le nombre.

Un élève qui cherche le poids d'un livre ne peut confronter sa réponse à la réalité que sous la forme 750g, pas sous la forme 25 x 30.

Or, si on veut qu'en mathématique on cherche à dire des choses vraies, le retour à la réalité le plus fréquemment possible est essentiel.

J'ai toujours été frappé quand je préparais des étudiants au CRPE qu'une proportion assez importante d'entre eux acceptaient de donner un résultat auquel eux-mêmes ne croyaient pas. C'était un de nos premier objectifs : n'affirmer quelque chose que si on pense que c'est vrai. Si on croit que c'est vrai et que ça ne l'est pas, ça s'appelle une erreur, ça peut arriver à tout le monde. Si on affirme quelque chose sans croire soi-même que cette affirmation est vraie (juste parce qu'on pense que l'enseignant attend ça), ce n'est pas une erreur c'est une ânerie (pour rester poli).

Je pense que le type d'exercice "trouver la bonne opération" contribue à ce renoncement au sens.

Question annexe :

Quelle opération permet de résoudre le problème suivant ?

 J'empile deux cartons rouges, l'un de 58 cm de haut, l'autre de 47 cm de haut. J'empile aussi deux cartons bleus, l'un de 58 cm, l'autre de 63 cm. Quelle pile sera la plus haute ?

[valdeloise]

il y a 23 minutes, vieuxmatheux a dit :

Un élève qui cherche le poids d'un livre ne peut confronter sa réponse à la réalité que sous la forme 750g, pas sous la forme 25 x 30.

Or, si on veut qu'en mathématique on cherche à dire des choses vraies, le retour à la réalité le plus fréquemment possible est essentiel.

La réalité c'est que son livre pèse autant 750g que 25 x 30g. C'est ça les maths et c'est exactement ce qu'il faut que les élèves comprennent.

il y a 23 minutes, vieuxmatheux a dit :

Quelle opération permet de résoudre le problème suivant ?

 J'empile deux cartons rouges, l'un de 58 cm de haut, l'autre de 47 cm de haut. J'empile aussi deux cartons bleus, l'un de 58 cm, l'autre de 63 cm. Quelle pile sera la plus haute ?

Tu me demandes de réfléchir à une opération alors que ce n'est pas nécessaire. Tu m'induis en erreur. C'est foncièrement anti-pédagogique.

[Fulbert]

J’ajouterai que les travaux sur les nombres ne sont qu’une partie des mathématiques. Si un certain nombre de gens les regardent avec recul cela tient peut-être à la fragilité de leurs bases, de leur compréhension des concepts de diminution, d’augmentation, de forte augmentation avec facteur quantifié, de forte diminution, de leur manque d’habitude du raisonnement, de la prise de conscience des données. Les nombres sont importants mais il y a "autre chose" Le tsunami de l’informatique dans nos civilisations accorde une énorme importance à l’algèbre de Boole et des connectifs tels que « si » , « non » , « ou exclusif » prennent une grande place dès que l’on apprend un quelconque langage de programmation ou que l’on souhaite qu’une page internet soit active, interagisse avec l’utilisateur sinon on se contenterait de texte inerte uniquement informatif tel qu’un journal ou un livre. Le règne du livre et du papier-crayon s’achève, celui des ordinateurs, de javascript, de l’intelligence artificielle commence, quelles que soient les résistances! Et les ordinateurs se chargent de plus en plus des calculs numériques complexes; regardez Mathématica, Mathlab et autres. On peut regretter cela comme on regrette l'introduction des calculatrices mais si vous regardez ce qui se passe, qu'en concluez-vous?

[vieuxmatheux]

 

Le 13/02/2023 à 12:41, valdeloise a dit :

Tu me demandes de réfléchir à une opération alors que ce n'est pas nécessaire. Tu m'induis en erreur. C'est foncièrement anti-pédagogique.

Je ne demandais aux membre du forum de résoudre le problème, je voulais juste montrer une fois de plus qu'il existe des problèmes pour lesquels chercher l'opération n'est pas une bonne idée. J'admets que la formulation était ambigüe et pouvait faire croire à une question destinée aux élèves.

Ce n'est pas moi qui pousse à faire une opération, ce sont toutes les méthodes comme celle dont il est question ici qui apprennent aux élèves que résoudre un problème consiste essentiellement à trouver la bonne opération.

Ma formulation est peut-être maladroite, mais ces méthodes sont comme tu le dis anti-pédagogiques : on enseigne que l'essentiel est de trouver la bonne opération alors que ce n'est pas toujours vrai. Bien entendu, si on ne pose aux élèves que des problèmes qui peuvent se résoudre comme on le leur enseigne, la difficulté reste masquée, mais cela les enferme encore plus dans cette conception.

[valdeloise]

Je comprends ce que tu veux dire: effectivement, les opérations ne sont pas tout! mais tu oublies qu'en primaire, on subdivise les maths en plusieurs sous-domaines: le calcul, qui nécessite en effet de faire des opérations, mais aussi la numération, domaine dans lequel rentrent les problèmes de comparaison que tu proposes, la gestion de données, bien illustré par ton problème de camion, etc...

Je ne comprends pas de reprocher à un exercice qui se focalise sur le sens des opérations de se focaliser sur le sens des opérations... Après, je ne suis pas allé voir l'exercice en question, peut-être pose-t-il problème dans la forme, mais empiriquement, les exercices consistant à éclaircir le sens des opérations et qui demandent, par exemple, de se pencher sur le choix du signe, est selon moi, et par expérience bénéfique. Trop d'élèves choisissent un + ou un - au pif. Trop d'élèves ne voient pas le rapport entre multiplication et division, etc...

[Fulbert]

Comment analyser votre problème:

"Quelle opération permet de résoudre le problème suivant ?
 J'empile deux cartons rouges, l'un de 58 cm de haut, l'autre de 47 cm de haut. J'empile aussi deux cartons bleus, l'un de 58 cm, l'autre de 63 cm. Quelle pile sera la plus haute ?"

Il y a deux étapes: D'abord s'apercevoir que dans les deux piles il y a un carton de 58cm. C'est là où vous me rejoignez: on ne peut pas lire un énoncé rapidement, superficiellement. Combien de fois avez-vous dû répéter à vos élèves: relisez l'énoncé! Il faut s'attarder, il faut réfléchir. C'est ce recul que je tente d'imposer en particulier pour trouver mes situations où il est impossible de calculer. Obligation de recul donc début d'abstraction. Deuxièmement, on peut se demander si Descartes était un bon pédagogue (diviser la difficulté en autant de sous-problèmes que possible). Pas sûr vu que certains enfants brûlent les étapes mystérieusement, et c'est un point sur lequel vous pouvez m'attaquer.  Mais si l'on considère que la comparaison est une opération, on pourra dire qu'on compare les deux piles pour y trouver un cas particulier. Puis on compare 47 et 63. Dans cette optique c'est un problème à deux opérations, donc déjà complexifié. Faut-il commencer par proposer aux enfants des situations simplifiées pour commencer? Je ne sais pas, mais il me semble que je suis cartésien sur ce point

[vieuxmatheux]

 

Le 13/02/2023 à 13:52, valdeloise a dit :

Trop d'élèves choisissent un + ou un - au pif

Je suis bien d'accord sur ça, mais je pense que ce type d'exercice renforce cette attitude : quand il n'y a qu'à choisir une opération, quelques repères de surface (les mots utilisés, l'ordre de grandeur des nombre, les habitudes du maître…) suffisent à "avoir bon" assez souvent. Malheureusement, certains élèves s'en contentent.

 

Le 13/02/2023 à 12:41, valdeloise a dit :

La réalité c'est que son livre pèse autant 750g que 25 x 30g. C'est ça les maths et c'est exactement ce qu'il faut que les élèves comprennent.

Je trouve que là c'est un peu du purisme mathématique. Certes c'est le même nombre (c'est le point de vue du mathématicien) mais du point de vue pragmatique, les informations portées par les deux écritures ne sont pas les mêmes :

Si je veux vérifier en posant sur une balance électronique, celle si ne me répondra pas 25 x 30 g mais 750g (et même probablement 748g ou autre chose de voisin, mais c'est une autre difficulté liée à la mesure). Je maintiens que cette étape de vérification matérielle de ce qu'on a déduit par la réflexion est essentielle à la construction d'une attitude mathématique saine : on essaie de dire quelque chose de vrai et on s'en assure (ce n'est pas la parole du maître qui dit que c'est bien, ce sont les faits). La quasi absence de ce retour à la réalité dans la résolution de pbs à l'école primaire est selon moi une des principales sources de difficulté. Attention, je ne parle pas de manipuler les objets : la résolution est intellectuelle, seule la vérification utilise les objets… mais on sait dès le début que les objets existent, on ne travaille pas sur un texte désincarné.

En revanche l'écriture 750g n'informe pas du tout sur la procédure ayant conduit à trouver cette valeur, alors que si on lit 25x30g on va se demander si la situation conduit bien à la réitération de 25 groupes de 30g, ou à quelque chose d'approchant.

800g - 50g est aussi une écriture de la même masse et pourtant, si 25x30g est pertinent dans un problème, il est peu probable que cette écriture le soit, ce qui, à mon avis, montre bien que les écritures du même nombre ne sont pas équivalentes du point de vue du sens.

 

Le 13/02/2023 à 14:15, Fulbert a dit :

Mais si l'on considère que la comparaison est une opération, on pourra dire qu'on compare les deux piles pour y trouver un cas particulier. Puis on compare 47 et 63. Dans cette optique c'est un problème à deux opérations, donc déjà complexifié.

C'est un peu osé de considérer que la comparaison est une opération. Si c'en est une, pourquoi ne la proposez-vous pas dans vos choix ?

Vous arrivez ainsi à présenter un problème qui, je le maintiens, ne nécessite aucune opération, comme en nécessitant deux.

On peut effectivement décortiquer en deux étapes : 

1) Tiens, il y a une caisse rouge et une bleue de la même hauiteur

2) si je rajoute une caisse la bleue et une caisse sur la rouge,  j'aurai une pile plus haute avec une grande caisse qu'avec une petite caisse.

Comparons avec un problème ou il faut "faire une addition". On peut considérer que c'est une seule étape, mais décider qu'il faut faire une addition n'est pas si simple… que peut-on dire aux élèves qui soit d'une formulation aussi élémentaire que les deux étapes ci dessus ?