Aire d'un octogone régulier ?

[Kikouyou]

Merci de ton aide en tout cas Shubert, et si quelqu'un peut confirmer ma réponse, ce serait sympa !

[licou]

Est-ce que les triangles de 'loctogone ne sont pas équilatéraux ?

dans ce cas il suffirait de calculer 8 fois l'aire d'un triangle équilatéral...

à force de faire des maths je n'ai plus les idées très claires...

[Kikouyou]

Non, ce sont des triangles isocèles...

[maryl]

Est-ce que les triangles de 'loctogone ne sont pas équilatéraux ?

dans ce cas il suffirait de calculer 8 fois l'aire d'un triangle équilatéral...

à force de faire des maths je n'ai plus les idées très claires...

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non puisque l'angle au centre du cercle est de 45° (360°/8). Il s'agit de triangles isocèles.

[licou]

gloups ! vous avez raison ! :P faut que j'arrête de dire n'impore quoi !

[Kikouyou]

Teissa, ce n'est qu'une question d'Aix-Marseille 2003, ça promet !!!

[teissa]

Teissa, ce n'est qu'une question d'Aix-Marseille 2003, ça promet !!!   

<{POST_SNAPBACK}>

Suis au bureau et j'ai dû réduire la page car Monsieur le chef m'embête depuis tout à l'heure, du coup j'ai pas suivi !!!!

Perso j'essayais de calculer l'aire du triangle isocèle, pour après multiplier par 8, mais j'ai pas trouvé la hauteur !!!

[Kikouyou]

je crois que justement la hauteur du triangle isocèle, c'est "l'apothème", mais ça n'est pas du tout clair pour moi ça !!!! Grrr

[maryl]

A = 50 X 2 + 4 X (25 X (racine de 2 -1)/2) = 50 racine de 2 cm²

Ouf c'est fini ! et si ça se trouve, c'est faux !!!!!  :P

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50*rac(2) = 70,71 cm² c'est beaucoup plus que l'aire du cercle dans lequel ton octogone est inscrit (19,6 environ) donc ce n'est pas possible et là je me rend compte que ma réponse est fausse aussi En plus l'apothème sert en référence au cercle inscrit et non circonscrit...

j'ai trouvé ça :

Rayon du cercle circonscrit = 1/2 c rac (4+2rac(2)) avec c = coté de l'octogone

donc c = 2 rayon du cercle / (rac(4+2 rac(2))

et aire de l'octogone régulier = 2*c²* (1 + rac(2))

A = 10,36 cm² environ

http://membres.lycos.fr/villemingerard/Geometri/Polygone.htm

[Kikouyou]

Je ne comprends pas comment tu sais ça :

Rayon du cercle circonscrit = 1/2 c rac (4+2rac(2)) avec c = coté de l'octogone

donc c = 2 rayon du cercle / (rac(4+2 rac(2))

Comment peut-on trouver la formule d'aire de l'octogone au concours ?!! Cet exercice (ou plutôt question d'exercice !!!) me laisse perplexe...

Merci Maryl !

Modifié 31 mars 2005 par Kikouyou

[Laziza]

Bonjour à tous,

Voilà comment je réglerais ce pb.

Je considère 3 points consécutifs de l’octogone, A,B,C

En fait, je m’intéresse à ¼ de l’octogone.

AO=BO=CO=5 cm

AOC est un triangle rectangle en 0

AC = 2 rac(5) (Pythagore)

Aire (AOC)= 5x5/2= 25/2

Cherchons l’aire de ABC

Soit B’, le point d’intersection de AC et BO

ABB’ triangle rectangle en B’

AB’=rac(5) (=AC/2)

Cherchons B’O

AB’²+B’O²=AO²

B’O=2rac(5)

Donc BB’=BO-B’O=5-2rac(5)

Aire (ABC) = ACxBB’/2= 2rac(5)x(5-2rac(5))/2=5rac(5)-10

Aire octogone =

4 (Aire(AOC)+aire(ABC)) =

4 (25/2+5rac(5)-10) = 50 + 20 rac(5) -40 = 10+20 rac(5) = 54,72 cm2

Je ne suis pas sûre à 100% !!!

Mais, ça me semble plausible comme résultat !

A bientôt

[selmita]

Voici ma démarche :

1) Je calcule l'aire du triangle AGC (par la méthode classique, on a toutes les données, pas besoin de démontrer qu'il est rectangle), donc (GC X AO)/2 = 25 cm ²

2)Je calcule l'aire du triangle AGH  d'abord, il faut trouver AG, je me place dans le triangle AGO rectangle en O et j'applique Pythagore, j'obtiens AG² = AO² + OA² = 5 racine de 2 cm.

Ensuite je calcule HJ (soit J le point d'intersection de (OH) et (GA))

HJ = 5 - OJ Or OJ est la hauteur issue de o, angle droit du triangle AGO, elle est donc égale à la moitié de la longueur de AG.

OJ = 1/2 AG = (5 racine de 2)/2, on en déduit que HJ = 5 - (5 racine de 2)/2.

L'aire du triangle AGH est donc : (25 X (racine de 2 - 1)/2.

3) Finalement, l'aire de l'octogone est égale à l'aire dee AGC + aire de GCE + aire de AGH X 4

A = 50 X 2 + 4 X (25 X (racine de 2 -1)/2) = 50 racine de 2 cm²

Ouf c'est fini ! et si ça se trouve, c'est faux !!!!!  :P

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J'ai trouvé pareil!!! Démarche un peu différente :

En se plaçant dans le triangle AGO rectangle en O je trouve AG = 5 racine de 2

J, le point d'intersection de OH et GA se trouve sur la médiatrice de GA (puisque H et O sont équidistants des extremités du segment GA et que H, J et O sont alignés)

Donc J milieu de GA donc GJ = 5 racine de 2/2, et GJ correspond à la hauteur d'un triangle.

Donc aire d'un triangle : (5x5racine de 2/2)/2=25 racine de 2/4

Donc aire de 8 triangles : 8x25 racine de 2/4 soit 50 racine de 2 cm².

J'espère que c'est bon!!!