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Exos de math


Jujlm

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1/ Trouvez tous les nombres entiers n à 4 chiffres satisfaisant aux conditions suivantes :

- le nombre de centaines de n est un nombre premier inférieur à 20

- le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24

- le reste de la division de n par 9 est supérieur à 6

- le reste de la division de n par 5 est égal à 1

2/ On considère les nombres de la forme a x 5 + b + c/5 + d/(5x5) + e/(5x5x5) pour lesquels a, b, c, d, e sont des entiers naturels de l'ensemble (0,1,2,3,4).

On décide de representer un tel nombre par l'écriture (ab,cde)5 (base 5)qu'on appellera "écriture pentimale" du nombre.

- Montrer que tout nombre pentimal est une nombre décimal

- La réciproque de cette propriété est-elle vraie ? Si oui, le démontrer, si non donner un contre exemple.

Merci de votre aide

Juliette

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1/ Trouvez tous les nombres entiers n à 4 chiffres satisfaisant aux conditions suivantes :

- le nombre de centaines de n est un nombre premier inférieur à 20

- le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24

- le reste de la division de n par 9 est supérieur à 6

- le reste de la division de n par 5 est égal à 1

1/ Trouvez tous les nombres entiers n à 4 chiffres satisfaisant aux conditions suivantes :

A) le nombre de centaines de n est un nombre premier inférieur à 20

Les possibilités (si N a 4 chiffres) sont : 11, 13, 17 et 19

B) le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24

Ca veut dire que N = mcdu, du est un multiple de 24, donc il se termine par R (le reste de la division.

R < 100 donc R = 24, 48, 72 ou 96

C) le reste de la division de n par 5 est égal à 1

N - 1 est multiple de 5 et se termine donc par 0 ou 5.

Donc N se termine par 1 ou 6 (on peut éliminer 1 car N est pair, il se termine par un multiple de 24).

D'après B), seul 96 correspond aux conditions

Donc on a : 1196, 1396, 1796 et 1996

D) le reste de la division de n par 9 est supérieur à 6

6 < R1 < 9, donc 7 ou 8.

Pour trouver les solutions, il faut faire la division euclidienne par 9.

1196 = 9 * 132 + 8, donc 1196 est solution.

1396 = 9 * 155 + 1, 1 ne répond pas aux conditions de D), donc 1396 n'est pas solution.

1796 = 9 * 199 + 5, de même 1796 n'est pas solution.

1996 = 9 * 221 + 7, donc 1996 est solution.

Les solutions sont 1196 et 1996.

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2/ On considère les nombres de la forme a x 5 + b + c/5 + d/(5x5) + e/(5x5x5) pour lesquels a, b, c, d, e sont des entiers naturels de l'ensemble (0,1,2,3,4).

On décide de representer un tel nombre par l'écriture (ab,cde)5 (base 5)qu'on appellera "écriture pentimale" du nombre.

- Montrer que tout nombre pentimal est une nombre décimal

c < 4

c / 5 < 4 / 5

Donc c / 5 < 5 / 5 c'est-à-dire c / 5 < 1

Si c / 5 est inférieur à 1, on peut conclure que le nombre pentimal est décimal (tu peux faire de même avec d et e.

- La réciproque de cette propriété est-elle vraie ? Si oui, le démontrer, si non donner un contre exemple.

Un nombre décimal en base 5 avec deux chiffres avant la virgule et 3 après, est de la forme

a * 5 + b + c / 5 + d / 5 puiss2 + e / 5 puiss 3.

= 5a + b + c / 5 + d / 25 + e / 125.

C'est donc un nombre pentimal.

Mais je ne suis pas convaincue d'avoir démontré quoi que ce soit.

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J'ai pensé que comme les fractions étaient sur 5 en base 5, que tous les nombres étaient décimaux <_< .

D'après ce que j'ai compris, il faut prouver que tout nombre décimal en base 10 n'est pas un nombre pentimal en base 5 (un contre-exemple suffit).

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D'après ce que j'ai compris, il faut prouver que tout nombre décimal en base 10 n'est pas un nombre pentimal en base 5 (un contre-exemple suffit).

Oui, mais ce qui n'est pas facile, je trouve, c'est de trouver un contre-exemple...

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1/2 n'est-il pas un contre-exemple ?

A mon avis non, 1/2 base 10 = (1 / 2) / 5 = 1 / 10

1 / 10 = 0,1 donc l'écriture est finie.

Et si ton 1/2 est déjà en base 5, là aussi son écriture est finie.

Tu peux m'indiquer où tu as trouvé cet exercice ?

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exercice 2 :

Tout nombre décimal peur s'écrire sous la forme d'une fraction a/b où b est un produit de puissances de 2 et de 5. Il est donc facile de vérifier que le nombre (ab,cde)5 est un nombre décimal car il peut s'écrire sous la forme :

(ax5x5x5x5+bx5x5x5+cx5x5+dx5+e)/(5x5x5)

Pour la réciproque, je ne vois pas pourquoi 0.5 n'est pas un contre exemple. en effet je ne vois pas comment écrire 0.5 en base 10 sous la forme d'un nombre pentaminal. De même tous les nombre supérieurs à 25 en base 10 ne peuvent pas s'écrire sous la forme (ab,cde)5, car si j'ai bien compris l'énoncé, le plus grand nombre pentaminal est égal à (44,444)5 soit 24.992 en base 10.

Dites moi si je me trompe ?

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Je pensais comme Nadège.

Pour l'exo, c'est une copine qui est à l'iufm qui me l'a passé. Mais ils n'ont fait aucune correction...

Bye et encore merci de vos aides...

Juliette

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Sympa comme exercice <_< , en tout cas si un jour tu as la correction, passe-là nous.

Pour répondre à la question, il faut voir ce qu'on comprend par nombre pentimal (pour moi, c'est l'écriture d'un nombre décimal en base 5), je ne me fixe pas sur la forme ab, cde.

Je suis en train de regarder mes calculs et je pense avoir fait une erreur dans la conversion de 1 / 2 en base 5, cependant j'ai du mal à convertir les nombres décimaux en base 5.

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