CRPE · Notions de mathématiques

Fractions au CRPE : comprendre, calculer, éviter les erreurs classiques

Les fractions font partie des notions qui reviennent très souvent au CRPE. Elles apparaissent dans les exercices de calcul, les problèmes, la proportionnalité, les pourcentages, les grandeurs, et parfois aussi dans les questions de didactique.

Pourtant, c’est l’un des chapitres qui met le plus de candidats en difficulté. La raison est simple : beaucoup savent appliquer des règles, mais sans toujours comprendre ce qu’est réellement une fraction.

Or, au CRPE, cela ne suffit pas. Le jury n’attend pas seulement un résultat juste. Il attend aussi une démarche rigoureuse, du sens et une rédaction claire.

Qu’est-ce qu’une fraction ?

Une fraction permet d’écrire une quantité à partir d’un partage.

Dans l’écriture 3/4 :

• 3 est le numérateur ;
• 4 est le dénominateur.

Cela signifie que l’on partage une unité en 4 parts égales, puis que l’on en prend 3.

Autrement dit, 3/4 signifie : trois parts parmi quatre parts égales d’une même unité.

Voir une formulation attendue

La fraction 3/4 signifie que l’on a partagé une unité en 4 parts égales et que l’on en considère 3.

Une fraction est aussi une division

Écrire 3/4, c’est aussi écrire :

3 ÷ 4

Une fraction est donc également une division. C’est essentiel au CRPE, car beaucoup d’exercices reposent sur ce lien entre fraction et quotient.

Une fraction est un nombre

Une fraction n’est pas seulement une écriture de calcul. C’est un nombre à part entière.

3/4, 5/2 ou 11/3 sont des nombres, exactement comme 2, 7 ou 15.

Ils peuvent être placés sur une droite graduée, comparés, additionnés, multipliés ou divisés.

Ce qu’il faut absolument comprendre

1. Le dénominateur indique en combien de parts on partage

Dans 3/4, le dénominateur 4 indique que l’unité est partagée en 4 parts égales.

Il ne dit pas combien on en prend. Il dit comment l’unité est découpée.

2. Le numérateur indique combien de parts on prend

Dans 3/4, le numérateur 3 indique que l’on prend 3 parts.

3. L’unité compte énormément

Prendre 1/2 d’un gâteau ou 1/2 d’un terrain, ce n’est pas la même quantité.

La fraction dépend toujours de l’unité choisie. Beaucoup d’erreurs en résolution de problèmes viennent d’un oubli de cette idée.

4. Une fraction peut être plus grande que 1

Beaucoup d’élèves, et parfois de candidats, associent inconsciemment fraction et petite quantité. C’est faux.

5/4 est une fraction, et elle est plus grande que 1.

Une fraction n’est donc pas forcément un petit morceau.

Les calculs à maîtriser

Comparer deux fractions

Pour comparer 2/3 et 3/4, on peut les écrire avec le même dénominateur :

• 2/3 = 8/12 ;
• 3/4 = 9/12.

Donc :

2/3 < 3/4

Additionner des fractions

Exemple :

1/2 + 1/3

Erreur fréquente :

1/2 + 1/3 = 2/5

C’est faux. On ne peut pas additionner les dénominateurs.

Il faut d’abord écrire les fractions avec le même dénominateur :

• 1/2 = 3/6 ;
• 1/3 = 2/6.

Donc :

1/2 + 1/3 = 5/6

Multiplier des fractions

Exemple :

2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6

On multiplie les numérateurs entre eux, puis les dénominateurs entre eux.

Diviser des fractions

Exemple :

2/3 ÷ 5/4

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

2/3 × 4/5 = 8/15

C’est une règle classique, mais elle doit être comprise, pas seulement récitée.

Les erreurs les plus fréquentes au CRPE

Additionner « tout en haut et tout en bas »

Exemple :

1/2 + 1/3 = 2/5

C’est l’erreur la plus fréquente. Elle montre que la notion n’est pas comprise.

Comparer sans justification

Dire que 3/8 > 2/5 parce que 3 est plus grand que 2 est faux.

Comparer des fractions demande une méthode.

Oublier de simplifier

Écrire 8/12 au lieu de 2/3 n’est pas faux, mais le résultat n’est pas entièrement abouti.

Au CRPE, on attend en général une forme simplifiée.

Appliquer une règle sans comprendre

C’est le piège principal. Le jury valorise la compréhension bien plus que la récitation.

Ce que le jury attend

Le jury attend :

• un raisonnement clair ;
• des calculs lisibles ;
• une justification ;
• une rédaction rigoureuse.

Il ne suffit pas de « trouver ». Il faut expliquer.

Comment progresser rapidement ?

Pour progresser sur les fractions, il faut revenir au sens.

Avant de refaire des calculs complexes, il faut être capable d’expliquer simplement :

• ce que représente une fraction ;
• ce que signifie le dénominateur ;
• pourquoi 5/4 est plus grand que 1 ;
• pourquoi 1/2 + 1/3 ne fait pas 2/5.

Mieux vaut 10 calculs simples parfaitement compris que 50 automatismes fragiles.

S’entraîner : exercices corrigés

Ces exercices permettent de vérifier que les notions essentielles sont comprises. Prenez le temps de répondre à chaque question avant d’ouvrir le corrigé.

Exercice 1 — Comprendre une fraction

On considère la fraction 7/4.

1. Quel est le numérateur ?
2. Quel est le dénominateur ?
3. Que signifie le dénominateur ?
4. Que signifie le numérateur ?
5. Cette fraction est-elle plus petite ou plus grande que 1 ?
6. Expliquez pourquoi.
7. Comment peut-on écrire cette fraction sous la forme d’un nombre entier et d’une fraction ?

Voir le corrigé de l’exercice 1

Dans 7/4, le numérateur est 7 et le dénominateur est 4.

Le dénominateur 4 signifie que l’unité est partagée en 4 parts égales.

Le numérateur 7 signifie que l’on prend 7 de ces parts.

La fraction 7/4 est plus grande que 1, car le numérateur est plus grand que le dénominateur. 

On peut aussi le montrer en décomposant la fraction :

7/4 = 4/4 + 3/4 = 1 + 3/4

La fraction 7/4 contient donc une unité entière et encore 3/4 d’unité. Elle est donc bien plus grande que 1.

Exercice 2 — Comparer et calculer

On considère les fractions 3/5 et 5/8.

1. Comparez ces deux fractions.
2. Justifiez votre réponse.
3. Calculez leur somme.
4. Donnez le résultat sous forme simplifiée.
5. Calculez leur produit.
6. Donnez le résultat sous forme simplifiée.

Voir le corrigé de l’exercice 2

On compare 3/5 et 5/8. Le plus petit dénominateur commun de 5 et 8 est 40.

• 3/5 = 24/40 ;
• 5/8 = 25/40.

3/5 < 5/8

On calcule leur somme :

3/5 + 5/8 = 24/40 + 25/40 = 49/40

La fraction 49/40 est déjà simplifiée.

On calcule ensuite leur produit :

3/5 × 5/8 = 15/40 = 3/8

Exercice 3 — Repérer, corriger, justifier

Un candidat écrit :

Comme 4 est plus grand que 3, alors 4/9 est plus grand que 3/5.

1. Ce raisonnement est-il correct ?
2. Expliquez pourquoi.
3. Comparez correctement 4/9 et 3/5.

Un autre candidat écrit :

1/2 + 1/4 = 2/6

4. Cette réponse est-elle correcte ?
5. Expliquez l’erreur.
6. Corrigez le calcul.

Voir le corrigé de l’exercice 3

Le premier raisonnement n’est pas correct. On ne peut pas comparer deux fractions uniquement en comparant leurs numérateurs lorsque les dénominateurs sont différents.

Pour comparer 4/9 et 3/5, on les met au même dénominateur.

• 4/9 = 20/45 ;
• 3/5 = 27/45.

4/9 < 3/5

La deuxième réponse est également incorrecte :

1/2 + 1/4 = 2/6

Le candidat a additionné les numérateurs et les dénominateurs. Or, pour additionner deux fractions, il faut les écrire avec le même dénominateur.

• 1/2 = 2/4 ;
• 1/4 = 1/4.

1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4