ppcm et pgcd

[les3ptitsbouts]

Autre type d'exercices (aussi implicite) :

Donnez une fraction irréductible de 211420/47740

Quelqu'un à la réponse??

Merci

Tu changes le numérateur et le dénominateur par leur décomposition en facteurs premiers et tu élimines tous les nombres qui se retrouvent à la fois en haut et en bas de la barre.

Ca te donne: 31/7

ou alors tu calcules le PGCD de 211420 et 47740

ce qui te donne le plus grand nombre par lequel tu peux diviser le dénominateur et le numérateur .

[mimilachance]

ah ben oui !!!!

merci

[Dominique]

Soit n cm la longueur des côtés des carrés de pizza.

n doit être en même temps un diviseur de 126 et un diviseur de 84 donc n doit être un diviseur du PGCD de 126 et 84.

Ce sont ces problèmes-là que me posent le + de problèmes.. Deux avec les fleuristes, les bateaux, les piles ça va mais quand il s'agit de pizza ou de pelouse, j'ai vu qu'on pouvait en trouver avec PPCM et avec PGCD selon l'énoncé et je ne comprends jamais pourquoi c'est l'un et pas l'autre dans ces cas-là...

Voir peut-être : http://pernoux.perso.orange.fr/ppcm.pdf (page 2)

[Carole06]

Voir peut-être : http://pernoux.perso.orange.fr/ppcm.pdf (page 2)

Dominique, c'est justement ces 2 exercices de "pavage" qui font que je ne comprends pas... Pour moi, les 2 énoncés se ressemblent tellement, je ne comprends pas

[asgraveleau]

Dans le premier cas (PPCM), on recherche la valeur minimale possible pour la longueur du côté du carré et pour le second cas (PGCD) on recherche la valeur maximale. Dans le PPCM on recherche un multiple et dans le PGCD un diviseur.

[Carole06]

Dans le premier cas (PPCM), on recherche la valeur minimale possible pour la longueur du côté du carré et pour le second cas (PGCD) on recherche la valeur maximale. Dans le PPCM on recherche un multiple et dans le PGCD un diviseur.

Ca j'ai compris mais quand j'ai un exercice de pavage, s'il n'y a pas le terme "maximal/minimal", je ne sais pas quoi utiliser. Et encore je suis sûre qu'il existe des énoncés où il y a le terme "maximal" et qu'il faut utiliser le PPCM et vice-versa.

[asgraveleau]

Dans le premier cas (PPCM), on recherche la valeur minimale possible pour la longueur du côté du carré et pour le second cas (PGCD) on recherche la valeur maximale. Dans le PPCM on recherche un multiple et dans le PGCD un diviseur.

Ca j'ai compris mais quand j'ai un exercice de pavage, s'il n'y a pas le terme "maximal/minimal", je ne sais pas quoi utiliser. Et encore je suis sûre qu'il existe des énoncés où il y a le terme "maximal" et qu'il faut utiliser le PPCM et vice-versa.

Dans un exercice, si on te dit qu'il faut le plus petit nombre de pavés possible, tu en déduis que les dimensions du pavé doivent être les plus grandes possibles. C'est à toi d'adapter ... Je ne dis pas que c'est toujours facile. SI tu veux, cherche un exemple où ce n'est pas clair pour toi, et on regarde.

[Carole06]

Ok, alors j'ai à peu près compris mais je ne suis pas très à l'aise.

Je te donne un exercice qui m'a posé problème mais pas vraiment à savoir si PGCD/PPCM:

Un jardin rectangulaire de 4176 cm de large sur 6960 cm de long doit être recouvert de pelouse. Pour cela les jardiniers vont juxtaposer des "dalles carrées" de pelouse toutes identiques et dont le côté est un nombre entier de centimètres. Ce recouvrement doit se faire sans découpe.

1) Trouver toutes les dimensions possibles pour ces dalles, sachant que, si l'unité est le cm, la dimension du côté est un nombre entier compris, strictement, entre 150 et 250.

2) Dans chaque cas, donner le nombre de dalles nécessaire pour couvrir le terrain.

Donc j'ai utilisé le PGCD de 6960 et de 4176, ça m'a donné 1392. Mais à quoi correspond ce 1392 par rapport à mon énoncé ?

Ensuite dans le corrigé, ils disent qu'il faut trouver les diviseurs de 1392. Pourquoi???

[Pitchou]

Je viens de le faire j'ai trouvé 2 solutions !

Mais avant je tiens à vous dire que pour vous rassurer, j'avais très bien compris la théorie, mais j'avais du mal à la mettre en pratique. Donc là, à force de faire et refaire des exos, j'ai compris et j'y arrive ! Donc ne vous découragez pas si vous n'avez toujours pas compris ça va venir

Alors tu as calculé le PGCD de 6960 et 4176 et c'est bon, c'est ce qu'il fallait faire. Tu trouves 1392 : ce nombre correspond au plus grand diviseur commun de 6960 et 4176.

Mais si on prend un carré de côté 1392cm, ça marche certes, on peut mettre 5*3 dalles sur le jardin. Or il y a une contrainte : les dalles doivent avoir pour côté une valeur strictement comprise entre 150 et 250 cm !

Donc nous regardons les plus petits diviseurs :

1392 s'écrit aussi : 2*2*2*2*3*29

Le plus petit diviseur est 1, ensuite c'est 2, puis 2 puis 4 etc... Mais ces valeurs sont trop petites, elles ne correspondent pas au côté de la dalle (strictement compris entre 150 et 250 cm)

On essaie d'aller voir plus haut : 2*29=58 encore trop petit...

2*2*2*29=232 Ah ! Enfin une valeur intéressante ! Mettons la de côté !

2*2*2*2*29=464 Trop grand...

2*3*29=174 Hop ! Une autre valeur comprise dans notre intervalle !

Bref, tu tâtonnes un peu (je ne sais pas s'il y a une technique particulière, moi j'essaie différentes combinaisons, mais j'ai un peu peur d'en oublier...)

Si tu choisis des dalles de 174cm de côté, tu peux placer 40 dalles en largeur et 24 dalles en hauteur (ben oui car 6960/174=40 et 4176/174=24) donc en tout, tu peux placer 40*18=960 dalles dans ton jardin.

Si tu choisis des dalles de 232cm de côté, idem, tu peux en placer 30*18=540 dans ton jardin

[Carole06]

OK!!! Donc si le nombre que j'ai trouvé (PGCD) est trop grand, je cherche ses diviseurs à lui ? ça je sais faire, ouf!! Dites-moi que c'est ça!!!

[asgraveleau]

C'est un problème un peu particulier puisqu'on a une fourchette dans laquelle le résultat doit se trouver (pour éviter la multiplicité des solutions). En fait 1392 aurait pu répondre à la question : quelle taille maximale les dalles peuvent-elles faire ?

Donc, tu as raison, Carole, dans ce cas, tu dois chercher tous les diviseurs de 1392

[Dominique]

Un jardin rectangulaire de 4176 cm de large sur 6960 cm de long doit être recouvert de pelouse. Pour cela les jardiniers vont juxtaposer des "dalles carrées" de pelouse toutes identiques et dont le côté est un nombre entier de centimètres. Ce recouvrement doit se faire sans découpe.

1) Trouver toutes les dimensions possibles pour ces dalles, sachant que, si l'unité est le cm, la dimension du côté est un nombre entier compris, strictement, entre 150 et 250.

2) Dans chaque cas, donner le nombre de dalles nécessaire pour couvrir le terrain.

Remarque préalables :

- dans des exercices on où cherche des multiples communs à deux nombres on peut, même si l'énoncé ne demande pas de trouver le plus petit d'entre eux, chercher le PPCM des deux nombres car ensuite on peut dire que les multiples communs aux deux nombres sont les multiples de ce PPCM.

- dans des exercices on où cherche des diviseurs communs à deux nombres on peut, même si l'énoncé ne demande pas de trouver le plus grand d'entre eux, chercher le PGCD des deux nombres car ensuite on peut dire que les diviseurs communs aux deux nombres sont les diviseurs de ce PGCD.

Résolution de l'exercice :

Soit n centimètres la longueur du côté d'une dalle carrée.

n doit être un diviseur commun à 4176 et 6960 compris entre 150 et 200 et 250.

On pourrait :

- écrire la liste des diviseurs de 4176

- écrire la liste des diviseurs de 6960

- chercher les nombres communs aux deux listes et ne garder que ceux d'entre eux qui sont compris entre 150 et 200 250.

Mais ce serait fastidieux.

On va donc chercher le PGCD de 4176 et 6960 et utiliser le fait que les diviseurs communs à 4176 et 6960 sont les diviseurs de ce PGCD.

4176 = 2⁴ x 3² x 29

6960 = 2⁴ x 3 × 5 x 29

PGCD(4176,6960) = 2⁴ × 3 × 29 = 1392

Les diviseurs de 1392 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 29, 48, 58, 87, 116, 174, 232, 348, 464, 696 et 1392.

Il n'y en a qu'un compris entre 150 et 200. C'est 174. Il y en a deux compris entre 150 et 250 : 174 et 232.

Le côté des dalles mesurent donc 174 cm et il y a (4176/174) × (6960/174) soit 960 dalles ou mesurent 232 cm et il y a alors (4176/232) x (6960/232) soit 540 dalles.