Archives d'un retraité : problèmes, cours, formation...

[MichelDelord]

Bonsoir

J'avais déjà présenté à partir d'

ICI

en 2010 quelques uns de mes vieux cours qui pouvaient être utiles notamment sur la numération et les tables de multiplication jusqu'à 20 fois 20, ce qui est beaucoup plus facile à retenir qu'on ne le pense et de plus utile dans quelques situations et par exemple :

Comment calculer facilement de tête le pourcentage d'augmentation total d'un produit qui a subi deux augmentations successives de 70% et 40% ?

Cette dernière question : «

Les tables multiplication jusqu'à 20 fois 20 (CM, 6e .... seconde)

» avait été traitée

IC

I .

J’avais ensuite abandonné la publication de mes oldies : les retraités sont très occupés, c’est bien connu.

Je reprends cette publication avec deux nouveaux cours :

1)

Comment résoudre un problème d’arithmétique ?

qui donne, sous une forme très élémentaire, une méthodologie de découverte, de rédaction et de vérification de la solution d’un problème d’arithmétique.

2)

Une proposition de progression pour un cours sur la définition du mètre

qui partait à l’envers de ce qui se fait habituellement. Je posais d’abord comme exercice à la maison

: Quelle est la circonférence de la terre ?

La réponse donnée état le plus souvent 40 000 km. Et là, je faisais la remarque suivante : Vous ne trouvez pas surprenant que la circonférence de la terre soit un nombre rond ? et j’enchaînais

Pour la semaine prochaine, expliquez pourquoi la circonférence de la terre est un nombre rond.

(ou presque)

Ces deux exemples sont traités sur la page

http://michel.delord...cours-math.html

Les publications suivantes seront, dans le désordre

1)Propositions de cours et progressions pour les élèves de CM à troisième :

- Changements d'unités ( sans tableaux ?)

- Division d'un décimal par un décimal

- Opérations à trous et équations à une inconnue

- Introduction aux fractions

- La règle de trois sans la proportionnalité

- Calculs en base deux et en base dix

- Ordinateur fait avec des boites d'allumettes

- Priorités opératoires

2) Cours et formation pour les enseignants

- Les trois multiplications. Commutativité ?

- Démonstration de la commutativité de la multiplication

- Division euclidienne

- Propriétés des opérations( autres que la commutativité, l’associativité et la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, etc.)

Toute remarque, surtout critique, est la bienvenue.

26 octobre 2012

Michel Delord

[mra]

Merci à toi: je n'enseigne pas les maths en ce moment. Mais sur le principe je trouve ta démarche extra...Donc je ne me gène pas pour l'écrire! Et puis mon mec est enseignant en CM2, c'est un flippé et il est inspeté en 2° période.

Je te mets en favori!

[tartinette]

Mille mercis pour ce partage. J'attends la suite avec impatience..

Certains de mes élèves de CM ont de réels problèmes à mémoriser les tables de multiplication malgré le travail quotidien fait en classe et le suivi à la maison pour la plupart (milieu favorisé).

Je vais utiliser cette méthode de calcul sur les doigts que je ne connaissais que pour le 9.

J'aurais aimé que mes enfants aient un prof de maths comme ça ...

[MichelDelord]

Je vous remercie de tous ces compliments. J'espère que je les mériterai. Mais surtout et tant pis si je me répète : si vous utilisez mes schémas de cours, dites-moi les difficultés que vous rencontrez et toutes les critiques que vous avez à faire. J'espère encore m’améliorer :-)

Bon courage pour demain.

MD

[Ekole]

Bonjour,

A la place de, je cite "- on ajoute zéro à droite du résultat obtenu"

Je préfère dire après observation et compréhension "... cela revient à écrire un zéro"

Car d'un point de vue mathématique, ajouter 0 à un nombre ne change rien à ce nombre. Cet abus de langage crée bien des soucis aux élèves!

[vieuxmatheux]

Bonjour

C'est effectivement un travail considérable… et j'ai beaucoup de respect pour le travail.

Ceci dit, j'ai de très grandes réserves sur le contenu.

Par exemple, j'ai regardé d'assez près la page concernant la résolution d'un problème d'arithmétique.

Elle commence par :

Comment on résout un problème

PROBLEME. – Ma chambre mesure 4,25 m de long, 3,80 m de large et 2,90 m de haut. Papa veut passer trois couches de peinture sur les murs. Il y a lieu de déduire 6,25 m2 pour les ouvertures. Combien fut-il acheter de pots de peinture, sachant qu'un pot couvre 9m2 ?

Analyse du problème ou raisonnement

1er problème simple : On demande le nombre de pots de peinture à acheter que l'on obtient en divisant l'aire de la surface à peindre par l'aire de la surface couverte par un pot de peinture.

…

De mon point de vue, l'élève qui est capable d'effectuer cette première étape n'a pas de difficulté majeure avec les problèmes d'arithmétique. Cette étape est d'autant plus difficile que, comme le montre très bien le raisonnement détaillé exposé plus loin dans le document, si la division permet de trouver le nombre de pots nécessaire, c'est par un raisonnement assez subtile puisque le nombre de pots n'est pas le quotient.

Du coup, ma question est "à qui peut servir cette méthodologie ?"

Elle expose une démarche dans laquelle certaines personnes à l'aise avec ce genre de problème se reconnaîtront probablement, mais est-elle susceptible d'aider une personne qui n'est pas déjà à l'aise ?

Ceci-dit, pour atténuer ma critique, je ne sais pas s'il est possible de fournir une aide méthodologique qui soit pertinente.

Si on pense par exemple à l'ouvrage de G. Polya "Comment poser et résoudre un problème" qui attaque la question par le bout du processus de recherche et non de sa mise en forme, on arrive au bout du compte à la même conclusion : tout cela est passionnant, ça décrit bien ce que je fais quand je m'attaque à un problème difficile pour moi, ça semble cohérent avec ce que j'ai lu de l'activité des mathématiciens… mais ça n'aide pas beaucoup à faire avancer les élèves qui ont des difficultés dans le domaine.

[MichelDelord]

Bonjour,A la place de, je cite "- on ajoute zéro à droite du résultat obtenu"Je préfère dire après observation et compréhension "... cela revient à écrire un zéro"Car d'un point de vue mathématique, ajouter 0 à un nombre ne change rien à ce nombre. Cet abus de langage crée bien des soucis aux élèves!

En tant que prof de collège, j'ai effectivement vu pas mal d'élèves qui avaient appris, pour les nombres entiers, que "Pour multiplier par 10, on ajoute un zéro à droite du nombre" et le faisaient aussi pour les décimaux et disaient donc que 2,5 × 10 est égal à 2,50. Mais ce n’est pas tout à fait ce que vous dites et que je vais reprendre.Je décompose ma réponse en deux parties :I) A propos du vocabulaireII) A propos de « Pour multiplier par 10, on écrit un zéro à droite du nombre »

*

* *

I) A propos du vocabulaire : Dans mon texte, j’ai effectivement écrit

«

on ajoute zéro à droite du résultat obtenu

»

et vous dites

« Je préfère dire après observation et compréhension "... cela revient à écrire un zéro"

».

Et vous donnez la raison

«

Car d'un point de vue mathématique, ajouter 0 à un nombre ne change rien à ce nombre. Cet abus de langage crée bien des soucis aux élèves!

»

Si vous dites, « cela revient à écrire », je pense que vous signifiez par là que j’aurais dû écrire « on multiplie par 10, ce qui revient à écrire un zéro à droite du nombre … » ; dans le cas contraire, c'est-à-dire si vous ne faites pas référence à la multiplication par 10, je ne vois pas pourquoi vous dites « ce qui ++revient++ à écrire ». Mais dans le texte cité par vous, je donne explicitement ++une recette++ : je rappelle que je fais ça en 3/4 minutes à la fin de ma première heure de cours en sixième. Je ne justifie rien et c’est tout à fait ++volontairement++[1], car la procédure est ainsi plus rapide, que je ne dis pas qu’il faut multiplier par 10. Je dis simplement qu’il faut « ajouter un zéro à droite de 25 », ce qui transforme 25 en 250.Je rappelle ce que j’ai écrit :

« Pour multiplier les deux nombres (17 et 18)

-a)

on ajoute à un nombre les unités de l’autre , 17 + 8 =

25

ou 18 + 7 =

25

-b)

on ajoute zéro à droite du résultat obtenu 25

0

-c)

on multiplie les unités entre elles 7× 8 =

56

-d)

on ajoute les deux résultats obtenus 250 + 56 = 306 et donc

17 × 18 =

306 »

1)Une fois que les élèves « savent faire » et se sont aperçus que « ça marche à tous les coups», je fais ensuite la démonstration de la validité de la recette : voir le fichier fourni indiqué supra tables-mult20.pdf et en particulier, aux dernières pages les deux justifications

i) Justification à partir de l’algorithme de la multiplication posée

ii) Justification géométrique

qui sont tout à fait accessibles en début de sixième (et j’ai des amis PE qui l’on fait en CM2)Je rappelle aussi ce que j’écris dans la présentation, pour montrer qu’il y a des cas où l'on peut sans dommages d’abord « pratiquer sans comprendre » :

«

C’est un exemple intéressant pour une autre raison : comme le résultat impressionne les élèves, il est beaucoup plus pertinent [dans ce cas, MD] d’apprendre d’abord à «

faire sans comprendre

» et ne donner qu’ensuite les raisons qui font que ça marche.

»

2)Reste la question de l’emploi du mot « ajouter » : en français, il n’a pas obligatoirement un sens lié directement au calcul - additionner au sens arithmétique - et l’on peut aussi dire « il faut ajouter un peu de sel », « ajouter un verrou à la porte », « ajouter un chapitre à un livre ».Et ici, je crois que dans mon texte et +++avec les exemples donnés+++, il n’y a pas de doutes possibles pour les deux sens du mot

- pour

-a)

et

-d)

ajouter signifie additionner deux nombres

- pour

-b)

« ajouter un zéro à droite du résultat » signifie écrire un zéro à droite de 25

Mais vous ajoutez : «Car d'un point de vue mathématique, ajouter 0 à un nombre ne change rien à ce nombre.» Certes mais je n’ai jamais écrit ce qui pourrait entrainer une telle confusion puisque j’ai écrit : « on ajoute un zéro à droite du nombre », ce qui n’est pas la même chose que « j’ajoute zéro au nombre ».Si je tombais sur ces deux phrases en classe, j’aurais même fait un petit cours de français expliquant la différence entre « ajouter zéro à un nombre » et « ajouter zéro à la droite du nombre ».c) Donc, dans ce que j’ai écrit, il n’y a pas de confusions possibles. Ou pour être plus précis puisque, quelles que soient les précautions prises, il y a toujours des personnes qui font des confusions, il y a dans ce que j’ai écrit tout ce qui est nécessaire à un lecteur attentif pour ne pas faire de confusions.Ceci dit, si ma phrase ne pose aucun problème de compréhension dans le contexte pour lequel elle est prévue, je pense que, dans un autre cadre qui n’est pas le mien et qui serait celui de la présentation de la règle de multiplication d’un entier par 10 - contexte auquel vous pensez , je suppose - , votre formulation « Pour multiplier un nombre entier par 10, on écrit un zéro à la droite de ce nombre » est bien meilleure effectivement que « Pour multiplier un nombre entier par 10, on ajoute un zéro à ce nombre ».Mais si on s’intéresse aux cas de confusions possibles provenant du double sens d’un mot, il faut bien d’abord constater qu’il n’y a pas que le mot ajouter qui a un sens mathématique et un autre sens hors mathématiques, et j’irais même jusqu’à dire que la majorité des mots que l’on emploie en maths en primaire ont un sens en dehors des maths. Et je rajouterai également que beaucoup de mots - et pas seulement ceux qui ont un sens mathématique - ont plusieurs sens, ce qui peut effectivement entrainer des confusions, et pas seulement en mathématiques.En général, il n’y a pas de solutions miracles et faciles qui permettent d’éviter les confusions car ce qui permet de les éviter est essentiellement la connaissance du contexte. Et c’est en gros la même chose lorsqu’il y a un risque de confusion en mathématiques.Mais que faire alors ? En commençant bien évidemment par des leçons et des situations qui introduisent le moins d’ambigüité possible, il faut ensuite se dire que l’objectif est bien d’affronter les difficultés d’apprentissage et de maitrise de la langue - qu’elles soient mathématiques ou non -, que l’on ne peut pas se débarrasser de ces ambigüités car elles existent et que c’est bien l’école qui doit aider à les lever.Comment faire ? Dit ++ très ++ brièvement : s’il y a un problème, relire attentivement le texte et regarder le contexte (ce qui signifie exactement « lire » dès que cette activité dépasse le niveau du déchiffrage).Je ne crois pas, bien qu’elle ait été tentée[2], à l’autre solution qui serait de prétendre construire pour les maths un langage plus ou moins purement mathématique qui éviterait toute contradiction. S’il existait un tel langage accessible aux élèves du primaire et du collège - mais il n’existe pas[3] - , il ne résoudrait de toutes les façons pas la question puisque des élèves habitués à penser exclusivement dans ce langage seraient absolument inaptes à comprendre leurs langues [et langages dans tous les domaines] qui, elles, ne sont pas exempte de contradictions, de difficultés et d’ambigüités.

*

* *

II) A propos de « Pour multiplier par 10, on écrit un zéro à droite du nombre »A paraitre. Trois parties

- 1) Discussion à propos de l'influence de la règle " Pour multiplier par 10, on écrit un zéro à droite du nombre" sur la faute : 2,5 × 10 = 2,50

- 2) Une règle sur la multiplication par 10 des nombres entiers "qui marche aussi" pour les décimaux

- 3) On "peut" enseigner des "choses fausses"

31/10/2012

Michel Delord

*

* *

[1] C’est volontairement que j’ai employé cette expression et je l’ai même précisé dans la partie IV du fichier original tables-mult20 qui date de 1996 et dont je recommandais la lecture [ http://michel.delord...bles-mult20.pdf ] ( la méthode D étant celle qui nous intéresse ici):

«

Les méthodes C et D viennent, dans leur esprit et +++

dans leur formulation volontairement conservés

+++ , du livre de l'élève de Cours Moyen "Arithmétique et système métrique" de V. Brouet et F. et A. Baudricourt, conforme aux programmes de 1882

»

[2] Un exemple en est le fameux : « Les phrases telles que: 8 pommes + 7 pommes = 15 pommes n'appartiennent en fait, ni au langage mathématique, ni au langage usuel. » du BO de 70 des maths modernes qui voulait construire un langage sans aucune ambigüité et interdisait d’écrire 30 cm = 3 dm qui devait être remplacé par « 30 cm représente la même longueur que 3 dm » traitant la première phrase « d’abus de langage », caractérisation - accompagnée de l’interdiction d’écrire des unités dans les opérations - qui a été hégémonique dans les écoles normales, puis dans les IUFM au moins jusqu’en 2000 et qui a encore des partisans même s’ils se font en général plus discrets. Et ce malgré le fait qu’un des plus grands géomètres de l’époque, Hassler Whitney, professeur au prestigieux Institute for Advanced Study de Princeton, avait montré, dès 1968, soit deux ans avant la publication de ce BO et dans une des plus fameuses revues mondiales de mathématiques que 8 pommes + 7 pommes = 15 pommes était bien une écriture mathématique et qu’il n’y avait aucune raison de refuser d’écrire 30 cm = 3 dm.

De nombreuses propriétés du modèle mathématique de la mesure présenté dans cet article ont un sens très clair dans leurs applications. Par exemple, nous avons les lois de distributivité et d’associativité

5 gâteaux + 2 gâteaux = (5+2) gâteaux = 7 gâteaux

2 yards = 2 ( 3 pieds) = (2×3) pieds = 6 pieds

Le fait que « 2 yards » et « 6 pieds » nomment le même élément du modèle nous autorise à dire qu’ils sont égaux ; il n’y a nul besoin de phrases mystérieuses du type « 2 yards a la même mesure que 6 pieds ».

Whitney Hassler, The mathematics of physical quantities, American Mathematical Monthly, February 1968.

http://michel.delord...r/h_whitney.pdf

Ce qui prouve bien que la majorité des partisans pédagogiques des maths modernes en primaire n’avaient qu’une connaissance très superficielle des susdites mathématiques modernes et ne s’en servaient que comme un vocabulaire ronflant destiné à impressionner le bas peuple et lui imposer des diktats de forme du type «Du point de vue de la mathématique, on n’a pas le droit d’écrire … ». Ce qui faisait tomber l’enseignement des mathématiques en dessous de ce que reconnaissait même le plus borné des inspecteurs d’avant 1970 qui répondait à la question « Est-ce que je peux faire ceci ou cela ? », même si ça pouvait être un argument de pure forme, par « Vous avez tous les droits à condition que vous argumentiez vos choix… ».Or par exemple, la phrase du BO citée « 8 pommes + 7 pommes = 15 pommes n'appartient [pas] au langage mathématique » n’a jamais été argumentée, n’a jamais été argumentée comme affirmation explicite d’un courant particulier des mathématiques mais a été présentée comme argument massue de « la mathématique », c'est-à-dire de toutes les mathématiques, ce qui revenait soit à nier l’existence d’autres courants de pensée, soit à les présenter comme marginaux et sans importance.[3] Il n’existe pas et ne peut pas exister.

[Ekole]

bonjour,

Disons, que voulais, à propose de la multiplication des nombres entiers par 10, proposer une façon de dire qui soir plus proche de ce qui se passe mathématiquement.

Outre les erreurs courantes que vous citez sur la multiplication des nombres décimaux, ce genre de petite phrase (On ajoute 0 à droite du nombre pour le multiplier par 10) fait aussi apparaître à certains les mathématiques comme une discipline magique et réservée à des initiés, capables - parce que c'est 'évident pour eux'- de traduire ajouter 0 par + 0 ou par 'écrire 0 à droite du nombre' selon les contextes dans lesquels ils se trouvent.

Vous conviendrez qu'en tant que pédagogues, il nous incombe de rendre les maths accessibles à nos jeunes élèves.

Il est heureux que proposiez une démonstration de ce "on ajoute un 0 à droite du nombre multiplié par 10". Je n'en attendais pas moins de vous!

[MichelDelord]

bonjour,

Disons, que voulais, à propose de la multiplication des nombres entiers par 10, proposer une façon de dire qui soir plus proche de ce qui se passe mathématiquement.

Outre les erreurs courantes que vous citez sur la multiplication des nombres décimaux, ce genre de petite phrase (On ajoute 0 à droite du nombre pour le multiplier par 10) fait aussi apparaître à certains les mathématiques comme une discipline magique et réservée à des initiés, capables - parce que c'est 'évident pour eux'- de traduire ajouter 0 par + 0 ou par 'écrire 0 à droite du nombre' selon les contextes dans lesquels ils se trouvent.

Vous conviendrez qu'en tant que pédagogues, il nous incombe de rendre les maths accessibles à nos jeunes élèves.

Il est heureux que proposiez une démonstration de ce "on ajoute un 0 à droite du nombre multiplié par 10". Je n'en attendais pas moins de vous!

Merci de votre réponse.

Vous dites :

« Disons, que je voulais, à propose de la multiplication des nombres entiers par 10, proposer une façon de dire qui soir plus proche de ce qui se passe mathématiquement »

Ok , il était donc bien question de multiplication par 10.

Par contre, je ne comprends pas pourquoi vous dites :

« ce genre de petite phrase (On ajoute 0 à droite du nombre pour le multiplier par 10) fait aussi apparaître à certains les mathématiques comme une discipline magique et réservée à des initiés, capables - parce que c'est 'évident pour eux'- de traduire ajouter 0 par + 0 ou par 'écrire 0 à droite du nombre' selon les contextes dans lesquels ils se trouvent. »

Car faire la différence entre deux actions ( dont ici une des deux n’est pas du tout mathématique, « écrire zéro à droite du nombre » c’est exactement comme « ajouter un s à la fin de salade » ) et comprendre cette différence en fonction du contexte n’est pas une question surtout mathématique mais une question de compréhension d’un texte écrit en français.

Et à mon avis, il faut, au contraire , insister en permanence devant le élèves sur cette parenté et ce qu’ont de commun les mathématiques et les autres matières. D’une part c’est plus facile pour eux, c’est l’avantage de l’interdisciplinarité lorsqu’elle n’est pas de façade c'est-à-dire lorsqu’elle est réelle, basée sur la maitrise des connaissances dans chaque matière.

D’autre part, il faut, à mon avis, absolument cesser d’amplifier tout ce qui peut justifier chez l’élève sa perception des maths comme discipline magique et spéciale ce qui n’a que des conséquences négatives : et ça, on l’a sur le dos depuis les maths modernes, puisque au contraire on insistait et plus que lourdement sur ce qui différenciait les maths et le français en mettant en avant des questions de forme et non de fond : je rappelle la phrase du BO de 70 avec laquelle on nous a cassé les pieds au moins 30 ans et qui, encore, n’est pas sans influence : « Les phrases telles que: 8 pommes + 7 pommes = 15 pommes n'appartiennent en fait, ni au langage mathématique, ni au langage usuel. ». Et l’insistance sur la nécessité de la séparation des mathématiques et de tout le reste ( et tout d’abord de la physique) avait comme justification que le langage mathématique était plus démocratique et éviterait la sélection !

Vous dites

« Il est heureux que proposiez une démonstration de ce "on ajoute un 0 à droite du nombre multiplié par 10". Je n'en attendais pas moins de vous! »

Je me suis mal exprimé : ce que je vais proposer n’est pas « une démonstration de ce "on ajoute un 0 à droite du nombre multiplié par 10" » mais une règle de multiplication par 10 que j’ai bricolée et dans laquelle n’intervient pas le fait de mettre un zéro à droite du nombre ( quelle que soit la manière dont on le dit )

-a) qui est d’abord définie pour les nombres entiers ( ce qui est bien puisque les élèves abordent les nombres entiers avant les décimaux)

-b) qui ne change pas d’énoncé (c’est la même règle) lorsque l’on passe des entiers aux décimaux

-c) qui est utile pour comprendre ensuite la relation entre l'arithmétique et l'algèbre

Le b) était satisfait par : « Pour multiplier un nombre décimal par 10, on déplace la virgule d’un rang vers la droite » qui fonctionnait pour les entiers et les décimaux mais on ne pouvait l’énoncer qu’une fois que l’on avait abordé les décimaux.

Et je voudrais d’ailleurs demander, en particulier à vieux matheux puisqu’il est formateur, si quelqu’un connait une règle de multiplication par 10 enseignable en primaire et qui a ces propriétés ? J’aimerais bien la comparer avec celle que je vous donnerai dés que j’en aurai fini la présentation , parce qu’on ne peut pas la donner « comme ça » sans refaire un petit retour sur la numération décimale de position.

Et puis jusqu'à la fin de la semaine, je joue à l'art d'être grand-père , et ça prend du temps ...

Bonne journée

MD

[Ekole]

Bonjour,

Je ne sais pas si le langage mathématique est plus démocratique (plus démocratique que quoi, d'ailleurs?), en tout cas il est peu ou pas polysémique.

Il n'y a pas pour moi de séparation entre langage mathématique et langage courant; mais il me semble que le premier supporte encore moins d'approximation que le second.

Pour ce qui est de la règle " Pour multiplier un nombre décimal par 10, on déplace la virgule d’un rang vers la droite », il s'agit je pense d'un "mouvement apparent" dont les élèves doivent avoir connaissance. La virgule ne se déplace pas, les chiffres changent de position.

Rien ne nous interdit de dire que le soleil se couche ou se lève. Mais nous savons que ce n'est qu'une apparence et en disant cela on n'imagine pas le soleil tourner autour de la terre... Quelqu'un nous l'a enseigné. On peut donc faire des raccourcis, sans risque. Evitons si possible d'enseigner trop de raccourcis aux élèves.

[vieuxmatheux]

Je ne sais pas si ça répond tout à fait à la question de de Michel Delord, mais j'ai mis ça en ligne sur mon petit site :

http://primaths.fr/outils%20cycle%203/multiplierundeci.html

[mra]

purée vous êtes passionants les mecs...Sauf que j'ai été obligée d'imprimer le truc pour le lire à tête reposée en "vrai". C'est là que je me rends compte que dans mon cas y'a du mal de fait!