Révisions maths 2007

[sabine_59]

Bonjour à tout ceux qui preparent actuellement le CRPE,

Je vous propose de poster ici tous les énoncés des exercices qui nous posent des problemes et de s'entraider pour les resoudre afin d'optimiser nos révisions.

allez, au boulot !!

Je commence :

Un cargo de 76m de long et naviguant à 25km/h dépasse un bateau de plaisance de 15m de long se déplaçant à 12km/h.

Calculer la durée de dépassement.

[°Vanille°]

Schématisons ce problème : Soit A le bateau de 76m, qui navigue à 25km/h

Soit B le bateau de 15m, qui navigue à 12km/h

A est juste derrière B.

On considère que le dépassement commence quand le bout avant de A est au niveau du bout arrière de B, le dépassement se termine quand le bout arrière de A est pile au niveau du bout avant de B.

Prenons comme référentiel (angle de vue), un passager X qui serait à l'arrière du bateau B, et un passager Y, qui serait à l'avant du bateau B.

Leur bateau à eux est à 12km/h. Comme leur bateau est en mouvement, pour eux, le bateau A n'est pas à 25 km/h, mais à 13km/h (25-12).

Pendant la durée exacte du dépassement, le passager X doit voir défiler devant ses yeux d'abord le bout avant du bateau A, puis le bateau en entier, c'est-à-dire 76m, mais ce n'est pas terminé, car une fois que le bout arrière de A est au niveau du passager X, il lui reste encore à arriver jusqu'au passager Y, c'est-à-dire parcourir encore les 15m du beateau B, donc en tout 76+15 =91m

Donc, depuis un angle de vue pris sur le bateau B, le bateau A doit faire 91 m, à...13km/h !

Produit en croix :

13km en 1h donne 13 000 m en 3600s

Donc 91m sont parcourus en 25.2 s.

Vérification

Voyons si en 25.2s, le bout arrière du bateau A sera au même niveau que le bout avant du bateau B :

Pour A : 25km en 1h donne 25 000m en 3600 s

Donc en 25.2 s, 175m sont parcourus.

Pour B: 12km en 1h donne 12 000 m en 3600 s

Donc en 25.2 s, 84 m sont parcourus

Si on fait un dessin en faisant une croix sur la bout arrière de A et une sur le bout avant de B, on verra que les 2 croix seront alignées, en ajoutant 175 m pour la croix sur A et 84m pour la croix sur B.

(A moins que je ne me trompe....)

[Dominique]

Voir aussi : http://edp.ipbhost.com/index.php?showtopic...mp;#entry738886

[sabine_59]

Merci.

C'est plus clair maintenant.

[Aliénor d'Aquitaine]

C'est une excellente idée de mettre ici les exercices qui nous posent problème car plus on s'entraînera et plus on sera prête pour le jour j !

[celynett]

Bonjour !

Je bosse les maths sur les Hatiers, je suis actuellement dans le chapitre "Calcul littéral et équations" et je me rend compte que j'ai du mal à factoriser. Il y a des corrections que je ne comprends pas.

Il faut factoriser 4x²-9 + 12 - 8x

On commence par factoriser 4x²-9=(2x-3)(2x+3)

Puis 12-8x=4(3-2x) donc

D= (2x-3)(2x+3) - 4 (3-2x) Jusqu'ici ça va bien que je ne suis pas à l'aise pour la 1ère étape (factorisation)

D= (2x-3) (2x+3) + 4(-3+2x) Je comprends la technique pour changer les signes mais quel en est l'intérêt

D=(2x-3) [(2x+3)+4] A partir de là je ne comprends plus, pouvez-vous m'expliquer ?

D= (2x-3)(2+7)

Puis, pouvez-vous résoudre ce problème en l'expliquant car je n'ai pas compris la correction non plus :

On considère 3 entiers consécutifs rangés dans l'ordre croissant. La somme du carré du 1er et du 2ème est égale au carré du dernier.

Quels sont ces 3 nombres ?

Merci d'avance !!

[Dominique]

Il faut factoriser 4x²-9 + 12 - 8x

On a d'une part 4x² - 9 = (2x)² - 3 = (2x + 3)(2x - 3) car a² - b² = (a+b)(a-b) et d'autre part 12 - 8x = 4(3 - 2x).

Donc : 4x²-9 + 12 - 8x = (2x + 3)(2x - 3) + 4(3 - 2x).

3 - 2x, qui est aussi égal à - 2x + 3 est l'opposé de 2x - 3.

Pour faire apparaître le facteur commun 2x - 3, on remplace donc 3 - 2x par - (2x - 3).

D'où : 4x²-9 + 12 - 8x = (2x + 3)(2x - 3) - 4(2x - 3)

Pour factoriser l'expression précédente on utilise la formule AB - CB = B×(A - C)

D'où :

4x²-9 + 12 - 8x = (2x + 3)(2x - 3) - 4(2x - 3) = (2x - 3)(2x + 3 - 4) = (2x - 3)(2x - 1)

[Dominique]

Il y a des corrections que je ne comprends pas.

Il faut factoriser 4x²-9 + 12 - 8x

On commence par factoriser 4x²-9=(2x-3)(2x+3)

Puis 12-8x=4(3-2x) donc

D= (2x-3)(2x+3) - 4 (3-2x) Jusqu'ici ça va bien que je ne suis pas à l'aise pour la 1ère étape (factorisation)

Si tu as bien recopié le corrigé, il y a une erreur dans le corrigé.

En effet, 12-8x = 4(3-2x) est exact mais ensuite : 4x²-9 + 12 - 8x = (2x-3)(2x+3) + 4(3 - 2x)

[Dominique]

Puis, pouvez-vous résoudre ce problème en l'expliquant car je n'ai pas compris la correction non plus :

On considère 3 entiers consécutifs rangés dans l'ordre croissant. La somme du carré du 1er et du 2ème est égale au carré du dernier.

Quels sont ces 3 nombres ?

Soit n le premier nombre. Le second nombre vaut n + 1 et le troisième nombre vaut n + 2.

La propriété donnée dans l'énoncé se traduit par l'équation :

n² + (n+1)² = (n + 2)²

Si on développe les deux carrés, on obtient :

n² + n² + 2n + 1 = n² + 4n + 4 [on a utilisé deux fois l'identité remarquable (a + b)² = a² +2ab + b²]

2n² + 2n + 1 = n² + 4n + 4

n² - 2n - 3 = 0

On tombe sur une équation du second degré de la forme ax² + bx + c = 0 dont la résolution n'est pas explicitement au programme du concours.

Revenons en arrière :

n² + (n + 1)² = (n + 2)² peut s'écrire : (n + 1)² = (n + 2)² - n²

On transforme le deuxième membre de l'équation précédente en utilisant l'identité remarquable A² - B² = (A + B)(A - B) et on trouve :

(n + 1)² = (n + 2 + n)(n + 2 - n) soit (n + 1)² = (2n + 2)×2 soit (n + 1)² = 2(n + 1)×2 soit (n + 1)² = 4(n + 1).

On met tous les termes à gauche du signe = et on trouve :

(n + 1)² - 4(n + 1) = 0 soit (n + 1)(n + 1) - 4(n + 1) = 0.

On factorise et on trouve :

(n + 1)(n + 1 - 4) = 0 soit (n + 1)(n - 3) = 0.

Comme on sait que A × B = 0 est équivalent à A = 0 ou B = 0, on trouve deux solutions.

Première solution :

n + 1 = 0 soit n = -1 (cette solution n'est pas, de mon point de vue, à rejeter car l'énoncé ne précise pas qu'on cherche des entiers naturels)

Les trois nombres sont -1, 0 et 1.

Vérification : (-1)² + 0² = 1 et 1² = 1

Deuxième solution :

n - 3 = 0 soit n = 3

Les trois nombres sont 3, 4 et 5.

Vérification : 3² + 4² = 25 et 5² = 25

[celynett]

Merci beaucoup Dominique pour tes réponses rapides ! J'ai encore quelques petits problèmes :

Lorsque tu dis "D'où : 4x²-9 + 12 - 8x = (2x + 3)(2x - 3) - 4(2x - 3)

Pour factoriser l'expression précédente on utilise la formule AB - CB = B×(A - C)

D'où :

4x²-9 + 12 - 8x = (2x + 3)(2x - 3) - 4(2x - 3) = (2x - 3)(2x + 3 - 4) = (2x - 3)(2x - 1)"

Ne faut-il pas utiliser la règle qui veut que deux - égal un +??

Le Hatier donne pour réponse finale "(2x-3)(2x+7)", c'est faux alors ?

Puis pour le 2ème exo :

"(n + 1)² = (n + 2)² - n²

On transforme le deuxième membre de l'équation précédente en utilisant l'identité remarquable A² - B² = (A + B)(A - B) et on trouve :

(n + 1)² = (n + 2 + n)(n + 2 - n) soit (n + 1)² = (2n + 2) ×2" Je me pose la même question que précédemment pour le - et autre chose qui est lié je me demande pourquoi "x2"?Je trouve : (n+2+n)(n+2-n)=(2+2n)+2. Non ?

Sinon dans l'énoncé c'était bien 3 entiers naturels consécutifs

Merci beaucoup Dominique pour tes réponses rapides ! J'ai encore quelques petits problèmes :

Lorsque tu dis "D'où : 4x²-9 + 12 - 8x = (2x + 3)(2x - 3) - 4(2x - 3)

Pour factoriser l'expression précédente on utilise la formule AB - CB = B×(A - C)

D'où :

4x²-9 + 12 - 8x = (2x + 3)(2x - 3) - 4(2x - 3) = (2x - 3)(2x + 3 - 4) = (2x - 3)(2x - 1)"

Ne faut-il pas utiliser la règle qui veut que deux - égal un +??

Le Hatier donne pour réponse finale "(2x-3)(2x+7)", c'est faux alors ?

Puis pour le 2ème exo :

"(n + 1)² = (n + 2)² - n²

On transforme le deuxième membre de l'équation précédente en utilisant l'identité remarquable A² - B² = (A + B)(A - B) et on trouve :

(n + 1)² = (n + 2 + n)(n + 2 - n) soit (n + 1)² = (2n + 2) ×2" Je me pose la même question que précédemment pour le - et autre chose qui est lié je me demande pourquoi "x2"?Je trouve : (n+2+n)(n+2-n)=(2+2n)+2. Non ?

Sinon dans l'énoncé c'était bien 3 entiers naturels consécutifs

Merci beaucoup Dominique pour tes réponses rapides ! J'ai encore quelques petits problèmes :

Lorsque tu dis "D'où : 4x²-9 + 12 - 8x = (2x + 3)(2x - 3) - 4(2x - 3)

Pour factoriser l'expression précédente on utilise la formule AB - CB = B×(A - C)

D'où :

4x²-9 + 12 - 8x = (2x + 3)(2x - 3) - 4(2x - 3) = (2x - 3)(2x + 3 - 4) = (2x - 3)(2x - 1)"

Ne faut-il pas utiliser la règle qui veut que deux - égal un +??

Le Hatier donne pour réponse finale "(2x-3)(2x+7)", c'est faux alors ?

Puis pour le 2ème exo :

"(n + 1)² = (n + 2)² - n²

On transforme le deuxième membre de l'équation précédente en utilisant l'identité remarquable A² - B² = (A + B)(A - B) et on trouve :

(n + 1)² = (n + 2 + n)(n + 2 - n) soit (n + 1)² = (2n + 2) ×2" Je me pose la même question que précédemment pour le - et autre chose qui est lié je me demande pourquoi "x2"?Je trouve : (n+2+n)(n+2-n)=(2+2n)+2. Non ?

Sinon dans l'énoncé c'était bien 3 entiers naturels consécutifs

[Dominique]

Lorsque tu dis "D'où : 4x²-9 + 12 - 8x = (2x + 3)(2x - 3) - 4(2x - 3)

Pour factoriser l'expression précédente on utilise la formule AB - CB = B×(A - C)

D'où :

4x²-9 + 12 - 8x = (2x + 3)(2x - 3) - 4(2x - 3) = (2x - 3)(2x + 3 - 4) = (2x - 3)(2x - 1)"

Ne faut-il pas utiliser la règle qui veut que deux - égal un +??

Je ne vois pas le rapport entre ce que j'ai écrit et la "règle" que tu rappelles.

Le mieux, pour que tu te rendes comptes que c'est bien ce que j'ai écrit qui est exact, est de redévelopper mon résultat :

(2x - 3)(2x - 1) = 4x² - 2x - 6x + 3 = 4x² -8x +3

Ceci est bien égal à l'expression de départ 4x² - 9 + 12 - 8x puisque -9 + 12 = 3

Le Hatier donne pour réponse finale "(2x-3)(2x+7)", c'est faux alors ?

Oui, si tu ne t'es pas trompée en recopiant l'expression de départ, le résultat donné par le Hatier est faux.

Quand on redéveloppe le résultat donné par le Hatier, on trouve 4x² + 14x - 6x -21 soit 4x² + 8x - 21 alors que l'expression de départ vaut 4x² - 8x + 3.

Remarques :

- dans le corrigé que tu as recopié du Hatier, on remplace à un moment 12 - 8x par -4(3 - 2x). C'est là que se situe l'erreur. En effet, il suffit de développer -4(3 - 2x) pour voir que c'est égal à -12 + 8x et pas 12 - 8x.

- je comprends qu'il puisse y avoir des erreurs dans un bouquin (j'en fait aussi) mais, là, si tu as bien recopié leur solution, c'est vraiment embêtant qu'ils aient fait cette erreur car ça risque d'introduire des idées fausses chez le lecteur (la "preuve" : après avoir recopié le résutat faux du Hatier, tu écris : "Je comprends la technique pour changer les signes").

Puis pour le 2ème exo :

"(n + 1)² = (n + 2)² - n²

On transforme le deuxième membre de l'équation précédente en utilisant l'identité remarquable A² - B² = (A + B)(A - B) et on trouve :

(n + 1)² = (n + 2 + n)(n + 2 - n)

Je me pose la même question que précédemment pour le -

J'avoue avoir beaucoup de mal à comprendre ce qui te pose problème (mais l'erreur commise dans le corrigé du Hatier pour l'exercice précédent y est peut-être pour quelque chose).

a² - b² = (a + b)(a - b)

6² - 4² = (6 + 4)(6 - 4)

etc.

Dans le cas qui nous intéresse, A = n +2 et B = n donc A + B = n + 2 + n et A - B = n + 2 - n donc (n + 2)² - n² = (n + 2 + n)(n + 2 - n)

et autre chose qui est lié je me demande pourquoi "x2"?Je trouve : (n+2+n)(n+2-n)=(2+2n)+2. Non ?

Non <_<

(n + 2)² - n² est égal, comme je viens de le réexpliquer ci-dessus, à (n + 2 + n)(n + 2 - n) autrement dit à (n + 2 + n) × (n + 2 - n) car le signe × est sous-entendu

dans l'écriture (n + 2 + n)(n + 2 - n).

Comme, par ailleurs, n + 2 - n = 2, on trouve bien (n + 2 + n) × 2

Sinon dans l'énoncé c'était bien 3 entiers naturels consécutifs

Dans ce cas, il n'y a qu'une seule solution : les entiers naturels consécutifs 3, 4 et 5.

[nomade]

Voilà un exercice issu d'un devoir d'IUFM pour ceux qui veulent ou qui aiment s'arracher les cheveux.... (il y a des poignées de tifs dans tous les coins de mon salon )

J'ai la correction, mais je suis malgré tout bien incapable d'y arriver, je me perds en chemin, surtout en algèbre.

Une dame charitable rencontre un pauvre auquel elle donne la moitié de l'argent qu'elle a dans son porte-monnaie, plus un euro. Au deuxième solliciteur, elle donne la moitié de ce qui lui reste, plus deux euros. Au 3eme, elle donne la moitié de ce qui lui reste alors, plus trois euros. A présent, il lui reste un euro. Combien avait-elle au début de sa promenade ?

Résoudre de deux manières (algèbre + arithmétique)

Tuyaux pour ceux qui rament :

méthode algébrique bien considérer ce qui reste dans son porte monnaie à chaque fois, en parallèle avec ce qu'elle a donné.

méthode arithmétique : avec une chaîne de l'état de son portefeuille, c'est plus simple...