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les exercices de math au CRPE 2006


mango

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bon, je me lance pour l'exercice 2

1/ les points A, B et K appartiennent au cercle. I étant le centre du cercle AI=IB=IK donc AK=KB, le triangle AKB est donc isocèle. Dans un triangle isocèle, la médiane est aussi médiatrice donc (KI) est bien la médiatrice du segment [AB].

2/ les points A,K,B appartiennent au cercle donc le triangle AKB est rectangle en K. De même, le point L appartient aussi au cercle, le triangle ALB est rectangle en L. ALB et AKB sont donc des angles droits. Dans le triangle ABC, [bL] est donc la hauteur issue issue de B, [KA] est la hauteur issue de A, [CH] est la hauteur issue de C. Les 3 hauteurs se coupent en O, orthocentre du triangle ABC, les points COH sont donc bien alignés.

3/ [iK] est perpendiculaire à [AB] puisque c'est la médiatrice. H étant le pied de la hauteur issue de C, [CH] est perpendiculaire à [AB]. [iK] et [CH] sont toutes deux perpendiculaires à [AB] donc [iK] et [CH] sont parallèles, le quadrilatère IKCO est un trapèze rectangle.

Ce ne sont sûrement pas les bonnes réponses.

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J'ai juste une question pour la n°4, comment peut on faire la figure avec les bons angles, sans utiliser un rapporteur ?

Pour avoir une idée, voir peut-être cet exercice (qui n'est pas sans rapport avec l'exercice donné)

et son corrigé : http://dpernoux.free.fr/Essai/enonce.htm

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Merci beaucoup Dominique pour cette aide précieuse.

Voici un troisième exercice :

EXERCICE 3 (4 points)

On joue aux fléchettes sur une cible comportant trois zones : une à 5 points, une à 7 points et

une à 11 points. On s’intéresse aux différents scores possibles, le nombre de fléchettes n’étant

pas limité.

Par exemple 30 est un score possible puisque 30 = 11+7+7+5 ou 30 = 5 +5 +5 +5 +5 +5.

1) Vérifier que 26, 43, 220 012 sont des scores possibles.

2) On dit que deux jeux sont identiques si, pour chacun d’entre eux, chaque zone de la cible

comporte le même nombre de fléchettes. Par exemple les jeux correspondant aux scores :

7 + 5 + 5 + 11 et 5 + 7 + 11 + 5 sont identiques.

a. Démontrer qu’il existe deux jeux différents et deux seulement correspondant au

score 34.

b. Trouver quatre jeux différents donnant le score 40.

3) Trouver tous les scores que l’on peut obtenir avec un lancer de trois fléchettes ayant toutes

atteint la cible. Présenter les résultats de manière organisée.

4) a. Démontrer que 14 et les quatre entiers suivants sont des scores possibles. En déduire

que tout nombre entier supérieur ou égal à 14 est un score possible.

b. Donner la liste des entiers non nuls qui ne correspondent à aucun score.

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J'ai été privée d'internet la fin de semaine. Je vais seulement regarder l'exercice 2. Donc je ferme mes yeux à vos explications en attendant..

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bon, je me lance pour l'exercice 2

1/ les points A, B et K appartiennent au cercle. I étant le centre du cercle AI=IB=IK donc AK=KB, le triangle AKB est donc isocèle. Dans un triangle isocèle, la médiane est aussi médiatrice donc (KI) est bien la médiatrice du segment [AB].

2/ les points A,K,B appartiennent au cercle donc le triangle AKB est rectangle en K. De même, le point L appartient aussi au cercle, le triangle ALB est rectangle en L. ALB et AKB sont donc des angles droits. Dans le triangle ABC, [bL] est donc la hauteur issue issue de B, [KA] est la hauteur issue de A, [CH] est la hauteur issue de C. Les 3 hauteurs se coupent en O, orthocentre du triangle ABC, les points COH sont donc bien alignés.

3/ [iK] est perpendiculaire à [AB] puisque c'est la médiatrice. H étant le pied de la hauteur issue de C, [CH] est perpendiculaire à [AB]. [iK] et [CH] sont toutes deux perpendiculaires à [AB] donc [iK] et [CH] sont parallèles, le quadrilatère IKCO est un trapèze rectangle.

Ce ne sont sûrement pas les bonnes réponses.

Qu'avez vous trouvé ?

Bon pour la 1 je ne suis pas d'accord.. (ca commence bien :blush: ). Parce que pour moi ce n'est pas parce que "AI=IB=IK" que "AK=KB"... Donc ton raisonnement pour moi ne tient pas la route, ceci étant si Dominique a le temps de confirmer ou d'infirmer; ça m'aiderai beaucoup.

Voilà comment je l'ai démontré.

Considérons le triangle ABK, K appartient au cercle de diamètre [AB]. Donc l'angle AKB est droit (je ne me rappelle plus le théorème à rappeller ici je n'ai pas révisé encore :blush: ). ON sait donc que l'angle AKB est de 90°, et que l'angle KBA est de 45°. Donc KAB est de 45° également (car la somme des angles du triangle est 180° ) donc AKB est isocèle en K et AK=KB.

De plus par construction AI=BI.

(IK) est donc la médiatrice de [AB].

2- Je démontre pareil que toi

3- IKCO est pour moi un simple trapèze, je n'y vois pas d'angle droit :cry:

4- Comment avez vous tracé le 4? POur ma part j'ai tracé le segment. pour l'angle B j'ai tracé la perpendiculaire (BD) à (AB) passant par B (au compas) puis la bissectrice de ABD. Celà crée un angle à 45°.

Pour l'autre angle j'ai tracé un triangle équilatéral (enfin un cerlce et j'ai reporté un rayon de cercle sur le cerle, pas simple à expliquer. Et celà crée un angle à 60° (je ne suis pas bien claire je suis sure).

Bon voilà vous me direz ce que vous en pensez...

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Merci Dominique pour la solution (que je n'avais pas vue précédemment)... Bon je vois tjs pas pourquoi IKCO est un trapèze rectangle :huh: .. Je vais chercher et regarder encore, et revoir ma définition du trapèze rectangle...

J'attaque le 3..

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Aller hop un petit jeu de flechettes...

1- 26=11+5+5+5 Donc c'est un score possible

43=11+7+5+5+5+5+5 donc c'est un score possible

220012=7+44011*5 donc c'est un score possible (c'est une somme de multiples de 5, 7 ou 11)

2- J'ai un souci avec la démonstration. Alors je démontre à l'inverse qu'il ne peut pas en exister d'autres...

Cherchons à décomposer 34 en somme de multiples de 5,7 et 11

11 + 11 + 11 = 33 si nous ajoutons 5,7, ou 11 à cette somme celà sera toujours supérieur à 34 donc aucun jeu ne pourra correspondre

11 + 11 + 7 + 7 = 36 si nous ajoutons 5,7, ou 11 à cette somme celà sera toujours supérieur à 34 donc aucun jeu ne pourra correspondre

11 + 11 + 7 + 5 = 34 - 1ere solution

11 + 11 + 7 = 29

11 + 11 + 5 + 5 = 32 si nous ajoutons 5,7, ou 11 à cette somme celà sera toujours supérieur à 34 donc aucun jeu ne pourra correspondre

11 + 7 + 5 + 5 + 5 = 33 si nous ajoutons 5,7, ou 11 à cette somme celà sera toujours supérieur à 34 donc aucun jeu ne pourra correspondre

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 28

7 + 7 + 7 + 7 + 5 = 33

7 + 7 + 7 + 7 = 28

7 + 7 + 7 + 5 + 5 = 31

7 + 7 + 5 + 5 + 5 +5 = 34 = 2ème solution

7 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =32

Les autres sommes ne conviennet pas.

Bon je pense qu'il doit exister une démonstration beaucoup plus propre en cherchant sur la base d'une somme de mulitples de 5, 7 et 11.

Je ne sais pas si raisonner comme suit pourrait marcher, j'attends la réponse sur cette question..

4*11 >34

3*11< 34

3*11+7>34

3*11+5>34

2*11<34

2* 11 +7 etc etc

2-b

40=8*5 donc 8 flechettes qui tombent dans le 5 est forme un jeu de 40 points

40=7+3*11 donc 3 flechettes qui tombent dans le 11 et 1 dans le 7 est forme un jeu de 40 points

40=5*7 +5 donc 5 flechettes qui tombent dans le 7 et 1 dans le 5 est forme un jeu de 40 points

40=11+2*7+3*5 donc 2 flechettes qui tombent dans le 7, 3 dans le 5 et une dans le 11 est forme un jeu de 40 points

3- Avec 3 flechettes voilà tous les jeux possibles (présenté en arborescence sur une feuille)

5 --- 5 --- 5

5 --- 5 --- 7

5 --- 5 --- 11

5 --- 7 --- 7

5 --- 7 --- 11

5 --- 11 --- 11

7 --- 7 --- 7

7 --- 7 --- 11

11 --- 11 --- 11

4-

14= 7+ 7

15 = 5*3

16= 5+11

17=2*5 + 7

18= 7 + 11

19 =14 + 5 = 7+7+5

Chaque nombre suivant peut s'écrire sous la forme d'une somme entre 14, 15,16,17 ou 18 et un multiple de 5. Ils sont donc tous des jeux possibles.

b- Les non solutions sont

1;2;3;4;6;8;9;13 5 est une solution, 10 également, 11 également, 7 aussi et à partir du nombre 14 on vient de démontrer que tous els nombres sont des solutions..

Bon je sais que tout celà n'est pas bien carré comme démonstrations alors j'attends un peu vos solutions pour m'éclairer.

Bonne soirée

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