les exercices de math au CRPE 2006

[Aspidistra]

2- J'ai un souci avec la démonstration. Alors je démontre à l'inverse qu'il ne peut pas en exister d'autres...

Cherchons à décomposer 34 en somme de multiples de 5,7 et 11

11 + 11 + 11 = 33 si nous ajoutons 5,7, ou 11 à cette somme celà sera toujours supérieur à 34 donc aucun jeu ne pourra correspondre

11 + 11 + 7 + 7 = 36 si nous ajoutons 5,7, ou 11 à cette somme celà sera toujours supérieur à 34 donc aucun jeu ne pourra correspondre

11 + 11 + 7 + 5 = 34 - 1ere solution

11 + 11 + 7 = 29

11 + 11 + 5 + 5 = 32 si nous ajoutons 5,7, ou 11 à cette somme celà sera toujours supérieur à 34 donc aucun jeu ne pourra correspondre

11 + 7 + 5 + 5 + 5 = 33 si nous ajoutons 5,7, ou 11 à cette somme celà sera toujours supérieur à 34 donc aucun jeu ne pourra correspondre

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 28

7 + 7 + 7 + 7 + 5 = 33

7 + 7 + 7 + 7 = 28

7 + 7 + 7 + 5 + 5 = 31

7 + 7 + 5 + 5 + 5 +5 = 34 = 2ème solution

7 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =32

Les autres sommes ne conviennet pas.

Bon je pense qu'il doit exister une démonstration beaucoup plus propre en cherchant sur la base d'une somme de mulitples de 5, 7 et 11.

Je ne sais pas si raisonner comme suit pourrait marcher, j'attends la réponse sur cette question..

4*11 >34

3*11< 34

3*11+7>34

3*11+5>34

2*11<34

2* 11 +7 etc etc

Bon j'ai réfléchi et je pense qu'on peut fonctionner comme suit...

Notons respectivement a, b et c le nombre de flecettes tombant dans les zones 5,7 et 11.

On cherche un jeu tel que a*5+b*7+c*11=34 Notons X l'équation 5a+7b+11c

Si c>=4 X>=44 donc c'est impossible

Si c=3 X>=33 donc si on ajoute la moindre autre flechette X est supérieur à 34 et sin on en ajoute aucune X=33 donc ne convient pas

Si C=2 11c=22 Donc on cherche maintenant a et b tels que 5a+7b=12. Celà ne se vérifie que pour a=b=1 les autres valeurs de a et b ne permettent pas un jeu de 34 point

Si C=1 11c=11 Donc on cherche a et b tels que 5a+7b=23

De même si C=0, on cherche a et b tels que 5a+7b=34

Pour résoudre ces 2 équations on peut proposer un tableau

Valeur de 5a+7b si b=0 b=1 b=2 b=3 b=4

a=0 0 7 14 21 28 Donc a=0 ne convient pas

a=1 5 12 19 26 33 a=1 n'amène a aucune solution

a=2 10 17 24 31 38

a=3 15 22 29 36

a=4 20 27 34 a=4 et b=2 est une solution

a=5 25 32 39

a=6 30 37

Voilà en rédigeant un peu plus et en présentant mieux que sur PC ça me parait beaucoup plus propre que précédemment.

[mango]

J'ai beaucoup galéré pour l'exercice 3 mais j'ai trouvé un corrigé de cet exercice déjà posté dans ce forum, je fais donc un copier-coller. C'est vrai qu'en lisant la correction, ça parait beaucoup plus simple.

Je galère pas mal pour ce genre d'exercices, si vous en avez d'autres dans le même style, je suis preneuse pour m'entraîner.

Concernant le corrigé de l'exercice 2, voir les liens proposés par Dominique.

Voici le corrigé de l'exercice 3.

1) 26 = 3×5 + 11 (ou 5 + 3×7),

43 = 2×5 + 3×11 (ou 3 × 7 + 2×11 ou 5×5 + 7 + 11 ou 3×5 + 4×7),

220 012 = 5 + 7 + 20000×11 (ou beaucoup d'autres...)

2) a. Il s'agit de trouver tous les nombres entiers a, b, c tels que 34 = 11 a + 7 b + 5 c.

34 = 3×11 + 1 est la relation définissant la division euclidienne de 34 par 11. Les seules

autres relations du type 34 = a × 11 + k sont donc :

• 34 = 3×11 + 1. Il n'existe pas d'entiers b et c tels que 7 b + 5 c = 1.

• 34 = 2×11 + 12

12 = 1×7 + 5 est la relation définissant la division de 12 par 7. Les seules relations du

type 12 = b×7 + k sont donc : 12 = 1×7 + 5 et 12 = 0×7 + 12. 12 mais 12 n'est pas

multiple de 5. On a donc, pour 34 = 2×11 + 12 l'unique solution : 34 = 2×11 + 7 + 5.

• 34 =1×11 + 23

23 = 3×7 + 2 est la relation définissant la division de 23 par 7. Les seules relations du

type 23 = b×7 + k sont donc : 23 = 3×7 + 2, 23 = 2×7 + 9, 23 = 1×7 + 16 et

23 = 0×7 + 23 mais ni 2, ni 9, ni 16 ni 23 ne sont multiples de 5.

• 34 =0×11 + 34

34 = 4×7 + 6 est la relation définissant la division de 34 par 7. Les seules relations du

type 34 = b×7 + k sont donc : 34 = 4×7 + 6 mais 6 n'est pas multiple de 5,

34 = 3×7 + 13, 34 = 2×7 + 20 et 20 = 4×5, 34 = 1×7 + 27 et 34 = 0×7 + 34 mais ni 27,

ni 34 ne sont multiples de 5. On a donc, pour 34 = 0×11 + 34 l'unique solution :

34 = 0×11 + 2×7 + 4×5.

On a donc, pour atteindre un score égal à 34, exactement deux solutions :

− deux fléchettes dans la zone 11 et une dans chacune des zones 7 et 5.

− deux fléchettes dans la zone 7 et quatre dans la zone 5.

b. On peut procéder comme précédemment.

40 = 3×11 + 7

7 = 1×7 donne la solution 40 = 3×11 + 1×7 + 0×5

7 = 0×7 + 7

40 = 2×11 + 18

18 = 2×7 + 4 18 = 1×7 + 11 18 = 0×7 + 18

40 = 1 × 11 + 29

29 = 4×7 + 1 29 = 3×7 + 8

29 = 2×7 + 15 donne la solution 40 = 1×11 + 2 × 7 + 3×5

29 = 1×7 + 22 29 = 0×7 + 29

40 = 0×11 + 40

40 = 5×7 + 5 donne la solution 40 = 0×11 + 5×7 + 1×5

40 = 4×7 + 12 40 = 3×7 + 19 40 = 2×7 + 26 40 = 1×7 + 33

40 = 0×7 + 40 donne la solution 40 = 0×11 + 0×7 + 8×5

3) Ordonnons de manière croissante les valeurs des trois zones atteintes : (dessin d'un arbre)

zone de valeur

la plus faible 5 7 11

zone de valeur

intermédiaire 5 7 11 7 11 11

zone de valeur

la plus élevée 5 7 11 7 11 11 7 11 11 11

Score 15 17 21 19 23 27 21 25 29 33

Liste des scores possibles : 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 33

4) a. 14 = 0×11 + 2×7 + 0×5 15 = 0×11 + 0×7 + 3×5 16 = 1×11 + 0×7 + 1×5

17 = 0×11 + 1×7 + 2×5 18 = 1×11 + 1×7 + 0×5

Méthode 1

Soit N = 11 a + 7 b + 5 c un score possible, supérieur à 14.

Si a > 0 alors N + 1 = 11 (a − 1) + 7 (b + 1) + 5 (c + 1) est un score possible.

Si a = 0 et b > 1 alors N + 1 = 7 (b − 2) + 5 (c + 3) est un score possible.

Si a = 0 et b ≤ 1 alors c ≥ 2 (car si b = 1, on a 7 + 5 c ≥ 14 alors 5 c ≥ 7 donc 5 c ≥ 10 et si

b = 0 alors 5 c ≥ 14 ≥ 10) et N + 1 = 1 × 11 + 7 b + 5 (c − 2) est un score possible.

14 est un score possible et pour tout entier N ≥ 14, si N est un score possible alors N + 1

est un score possible : tous les nombres à partir de 14 sont donc des scores possibles.

Méthode 2

14 étant un score possible, 19 = 14 + 5 l'est aussi. Soit N ≥ 15, notons q le quotient et r le

reste de la division de N par 5 alors N = 5 q + r avec 0 ≤ r < 5 et q ≥ 3 (car N ≥ 15).

N = 5 (q − 3) + 15 + r, or 15 ≤15 + r < 20 i.e. 15 + r ∈ {15, 16, 17, 18, 19} donc N est un

score possible.

b. 1, 2, 3, 4 ne sont pas des scores possibles car ils sont inférieurs à la plus petite valeur

cible possible. 6 est inférieur à 7 et n'est pas multiple de 5. 8 et 9, inférieurs à 11, ne sont

pas décomposables comme somme d'un multiple de 5 et d'un multiple de 7.

13 = 1×11 + 2 mais 2 < 5 et 13 = 0×11 + 13 mais 13 = 1×7 + 6 = 0×7 + 13 et ni 7, ni 13 ne

sont multiples de 5.

D'où la liste des scores impossibles : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 13.

[Aspidistra]

Pfiou..... Effectivement la rédaction c'est autre chose que moi. Bon à potasser. Si j'en trouve d'autres de ce style je te fais signe mango... merci

[mango]

Merci Apidistra

Je poste l'exercice suivant.

math_exo_4.doc

[Dominique]

Bon pour la 1 je ne suis pas d'accord.. (ca commence bien ). Parce que pour moi ce n'est pas parce que "AI=IB=IK" que "AK=KB"... Donc ton raisonnement pour moi ne tient pas la route, ceci étant si Dominique a le temps de confirmer ou d'infirmer; ça m'aiderai beaucoup.

Effectivement, dire que AI=IB=IK ne suffit pas pour conclure que AK = KB.

3- IKCO est pour moi un simple trapèze, je n'y vois pas d'angle droit

(CO) et (KI) sont perpendiculaires à (AB) ...

Ajout le 11 septembre 2006 à 17h30 : IKCO n'est effectivement pas un trapèze rectangle.

Voir message écrit le 11 septembre 2006 (merci Aspidistra) : http://forums-enseignants-du-primaire.com/index.php?s=&sh...t&p=1653213

[plouf]

que de mauvais souvenirs mais si pas trop presser vous les aurez demain am

[Aspidistra]

Bon pour la 1 je ne suis pas d'accord.. (ca commence bien ). Parce que pour moi ce n'est pas parce que "AI=IB=IK" que "AK=KB"... Donc ton raisonnement pour moi ne tient pas la route, ceci étant si Dominique a le temps de confirmer ou d'infirmer; ça m'aiderai beaucoup.

Effectivement, dire que AI=IB=IK ne suffit pas pour conclure que AK = KB.

3- IKCO est pour moi un simple trapèze, je n'y vois pas d'angle droit

(CO) et (KI) sont perpendiculaires à (AB) ...

Oui je suis d'ac que (CO) et (IK) sont perpendiculaires à (AB) ce qui pour moi prouve que le quadrilatère est un trapèze. (car alors (CO) et (IK) sont parrallèles. Mais un trapèze rectangle doit avoir 2 angles droits non? Et pour moi si l'angle en C ni en O ni en K ni en I n'est rectangle alors je nage; bon je vais reregarder... <_<

Ceci étant merci de ta réponse c'est très gentil de prendre le temps de nous suivre...

[Dominique]

Oui je suis d'ac que (CO) et (IK) sont perpendiculaires à (AB) ce qui pour moi prouve que le quadrilatère est un trapèze. (car alors (CO) et (IK) sont parrallèles. Mais un trapèze rectangle doit avoir 2 angles droits non? Et pour moi si l'angle en C ni en O ni en K ni en I n'est rectangle alors je nage; bon je vais reregarder... <_<

Je suis désolé. J'ai confondu les quadrilatères IKCO et IKCH.

IKCH est un trapèze rectangle mais, tu as raison, IKCO n'en est pas un.

Merci pour ton message qui m'a permis de modifier ma proposition de corrigé.

[plouf]

Le plus rapide pour le 1

Tracer le triangle rectangle ABC

AC=3.5

BC=12.5 donc obligatoirement AB=12

Vérifier evec Pythagore: AB*AB=BC*BC-AC*AC

2)a+b =36

a-b= 4

donc on a

a=b+4

2b+4=36

b=32/2

b=16 d'ou a=20

a*a-b*b=(a+b)(a-b)=36*4=144

donc racine carree=12

AB=12

AC=16

BC=20

car ABC triangle rectangle en A donc Pythagore

20*20=12*12+16*16

3

decompositions de 144=1*2*2*2*2*3*3

12*12

6*24

48*3

16*9

8*18

4*36

2*72

1*144

le 2 nous permet d'ecrire

a+b=36

a-b=4 solution (20;16)

onpeut donc ecrire: a+b=18

a-b=8 solution (13,5)

a+b=72

a-b=2 solution (35;37)

a+b=24

a-b=6 solution (15,9)

les autres couples ne pouvant etre solution car aet b ne sont pas des entiers

[plouf]

Merci Apidistra

Je poste l'exercice suivant.

j'ai repondu mais j'ai oublié de mettre la ref de l'exo

[Aspidistra]

Bonsoir,

j'ai les mêmes résultats que plouf. Bon la rédaction n'est pas la même mais j'avoue que je n'ai pas le courage de tout taper. Sachant qu'en plus pour la dernière question j'ai une petite difficulté à expliquer pourquoi je réapplique la méthode des premières questions..

[mango]

Bonsoir,

j'ai les mêmes résultats que plouf. Bon la rédaction n'est pas la même mais j'avoue que je n'ai pas le courage de tout taper. Sachant qu'en plus pour la dernière question j'ai une petite difficulté à expliquer pourquoi je réapplique la méthode des premières questions..

Exactement pareil pour moi !