Problèmes de maths

[°Vanille°]

Marion c'est dommage, tu as juste fait une étourderie dans l'écriture de D (c'est unité et centaine qu'il fallait inverser)

J'écris les nombres comme Marion :

A = 100a + 10b + c

B = 100a + 10c + b

C = 100b + 10a + c

D = 100c + 10b +a

Je mets en spoiler pour la suite, pour ceux qui veulent chercher tout seul.

1) Cherchons D-A :

D-A = 100c + 10b +a - (100a + 10b +c)

= 99c - 99a

= 99 (c-a)

Servons-nous des 2 hypothèses pour trouver comnbien vaut (c-a) :

Hypothèse 1 : A - B = 18

<=> 100a + 10b + c - (100a + 10c + b) = 18

<=> 9b - 9c = 18

<=> b-c = 2

Hypothèse 2 : C - A = 260

<=> 100b + 10a + c - (100a + 10b + c) = 360

<=> 90b -90a = 360

<=> b-a = 4

Lions les 2 hypothèses : b-c = 2 et b-a =4. Pour éliminer le b (car on veut calculer c-a), je soustrais ces 2 égalités :

b-c - (b-a) = 2 - 4

<=> -c +a = -2

<=> c-a = 2

Et comme D = 99(c-a), D =99x2 = 198

Je vais chercher la suite du problème et je reviens si j'arrive !

[°Vanille°]

Pour 2) (il y a d'autres façons, peut-être plus simples)

Une chose à savoir par coeur : si on veut montrer qu'un nombre est un multiple de 3, il faut que la somme des chiffres qui le composent soit aussi un multiple de 3 (il me semble que vous avez le droit de vous servir de cette affirmation sans la démontrer, c'est une loi mathématique).

ex : 162 : si je fais : 1 + 6 + 2, ça fait 9. 9 est un multiple de 3 donc 162 aussi

1377 : si je fais 1 + 3 + 7 + 7, ça fait 18, qui est un multiple de 3, donc 1377 aussi.

Bref, mon nombre A, composé des chiffres a, b et c, pour vérifier s'il est multiple de 3, il suffit de faire a+b+c et de voir si ce que l'on trouve est multiple de 3. Si oui, c'est bon.

D'après les questions précédentes, on sait que :

(1) b-c =2

(2) b-a =4

(3) c-a =2

Je me sers simplement de (1) et (2), ça donne : c=b-2 et a=b-4

Donc a+b+c = (b-4) +b + (b-2) = 3b -6 = 3 x (b-2) (et ''b-2'' est entier)

Donc a+b+c est bien un multiple de 3 (car = 3 x un entier)

Donc le nombre A (composé de ces 3 chiffres) est aussi un multiple de 3.

[°Vanille°]

Pour 3) spoiler, mais j'arrive à 2 solutions possibles...

Encore une règle à savoir : si un nombre est multiple de 9, alors la somme des chiffres le composant est aussi un multiple de 9. (attention, ça marche avec 3 et 9, mais pas avec tous hein )

donc a+b+c = 9k (k entier)

Mais dans 2) on a vu que a+b+c = 3(b-2) (et b-2 =c) donc a+b+c = 3xc

Donc 3c = 9k

donc c=3k

Donc tout simplement, c est un multiple de 3.

Donc c = 3 ou 6 ou 9

Servons-nous de ce que l'on sait déjà :

(1) b-c =2

(2) b-a =4

(3) c-a =2

Si c=3 a= 1 et b=5 donc le nombre A serait 153

Si c=6 a=4 et b =8 donc le nombre A serait 486

Si c=9 a=7 et b=11 => impossible, b est un entier compris entre 0 et 9 !

Donc soit A = 153, soit A = 486

Je n'arrive pas à trouver ensuite lequel des 2 on peut éliminer (je me suis peut-être trompée quelque part!)

[Héméra]

Pour 3) spoiler, mais j'arrive à 2 solutions possibles...

Encore une règle à savoir : si un nombre est multiple de 9, alors la somme des chiffres le composant est aussi un multiple de 9. (attention, ça marche avec 3 et 9, mais pas avec tous hein )

donc a+b+c = 9k (k entier)

Mais dans 2) on a vu que a+b+c = 3(b-2) (et b-2 =c) donc a+b+c = 3xc

Donc 3c = 9k

donc c=3k

Donc tout simplement, c est un multiple de 3.

Donc c = 3 ou 6 ou 9

Servons-nous de ce que l'on sait déjà :

(1) b-c =2

(2) b-a =4

(3) c-a =2

Si c=3 a= 1 et b=5 donc le nombre A serait 153

Si c=6 a=4 et b =8 donc le nombre A serait 486

Si c=9 a=7 et b=11 => impossible, b est un entier compris entre 0 et 9 !

Donc soit A = 153, soit A = 486

Je n'arrive pas à trouver ensuite lequel des 2 on peut éliminer (je me suis peut-être trompée quelque part!)

J'avais trouvé comme toi 2 solutions mais d'après la correction, après une étude de cas on ne trouve qu'une solution possible! (la première que tu as indiquée). Je ne comprends pas pourquoi l'autre ne convient pas.. peut être encore une erreur dans la correction. Si quelqu'un a une idée..

[nainess]

Je trouve comme vous 2 solutions, et j'ai tout vérifié, les deux sont valables

[tiGwen]

je trouve D-A = 198 et comem réponse pour A 153 ou 486

par contre je n'arrive pas prouver le b) A multiple de 3, comment faites-vous ?

A = cdu = 100c + 10 d + u

B = cud

C = dcu

D = udc

A-B = 18 = cdu - cud

=> 2 = d - u

soit d = 2 + u

C-A = 360 = udc - cdu

=> 4 = d - c

soit d = 4 + c

b) les valeurs de u, d c sont chacune comprise entre 1 et 9

si c = 1 => d = 5 et u = 3

c = 2 => d = 6 et u = 4

c = 3 => d = 7 et u = 5

c = 4 => d = 8 et u = 6

c = 5 => d = 9 et u = 7

donc A peut être 153, 264, 375, 486, 597 => tous ces nombres sont de smultiples de 3 car 1+5+3 = 9 = 3*3

2+6+4 = 12 = 3*4

3+7+5 = 15 = 3*5

4+8+6 = 18 = 3*6 (= 9*2)

5+9+7 = 21 = 3*7

c) seuls 153 et 486 sont des multiples de 9

Voilà comment je prouverais le b)

[Héméra]

je trouve D-A = 198 et comem réponse pour A 153 ou 486

par contre je n'arrive pas prouver le b) A multiple de 3, comment faites-vous ?

A = cdu = 100c + 10 d + u

B = cud

C = dcu

D = udc

A-B = 18 = cdu - cud

=> 2 = d - u

soit d = 2 + u

C-A = 360 = udc - cdu

=> 4 = d - c

soit d = 4 + c

b) les valeurs de u, d c sont chacune comprise entre 1 et 9

si c = 1 => d = 5 et u = 3

c = 2 => d = 6 et u = 4

c = 3 => d = 7 et u = 5

c = 4 => d = 8 et u = 6

c = 5 => d = 9 et u = 7

donc A peut être 153, 264, 375, 486, 597 => tous ces nombres sont de smultiples de 3 car 1+5+3 = 9 = 3*3

2+6+4 = 12 = 3*4

3+7+5 = 15 = 3*5

4+8+6 = 18 = 3*6 (= 9*2)

5+9+7 = 21 = 3*7

c) seuls 153 et 486 sont des multiples de 9

Voilà comment je prouverais le b)

Je t'explique comment j'ai fait:

A= abc

A=100a+10b+c

A=100(b-4)+10b+(b-2)

A=111b-402

A=3(37b-134)

Donc A est multiple de 3

[tiGwen]

je trouve D-A = 198 et comem réponse pour A 153 ou 486

par contre je n'arrive pas prouver le b) A multiple de 3, comment faites-vous ?

A = cdu = 100c + 10 d + u

B = cud

C = dcu

D = udc

A-B = 18 = cdu - cud

=> 2 = d - u

soit d = 2 + u

C-A = 360 = udc - cdu

=> 4 = d - c

soit d = 4 + c

b) les valeurs de u, d c sont chacune comprise entre 1 et 9

si c = 1 => d = 5 et u = 3

c = 2 => d = 6 et u = 4

c = 3 => d = 7 et u = 5

c = 4 => d = 8 et u = 6

c = 5 => d = 9 et u = 7

donc A peut être 153, 264, 375, 486, 597 => tous ces nombres sont de smultiples de 3 car 1+5+3 = 9 = 3*3

2+6+4 = 12 = 3*4

3+7+5 = 15 = 3*5

4+8+6 = 18 = 3*6 (= 9*2)

5+9+7 = 21 = 3*7

c) seuls 153 et 486 sont des multiples de 9

Voilà comment je prouverais le b)

Je t'explique comment j'ai fait:

A= abc

A=100a+10b+c

A=100(b-4)+10b+(b-2)

A=111b-402

A=3(37b-134)

Donc A est multiple de 3

ok c'est bon, j'ai compris

merci

[Héméra]

Je vous mets un autre petit exo .. car quand on aime on ne compte pas !

Des soldats défilent en formation carrée. Ils se séparent en deux rectangles à cause d'un poteau sur leur chemin, en sorte que l'un a 36 soldats de plus que l'autre. Quel est le nombre de soldats?

[misspudik]

On sait que dans le rectangle 2 on a 36 hommes en plus,ils ont juste 3 possibilité pour se mettre en rectangles(en décomposant 36 en facteur premiers), on considère que les largeurs des rectangles moins la largeur des 36 hommes= coté du carré(N)

1)2 en largeur et 18 en longueur :N=(l+2+l-2)x18=36l->36x2=72

2)3 en largeur et 12 en longueur :N=(l+3-l-3)x12=24l->24x3=72

3)4 en largeur et 9 en longeur : N=(l+4+l-4)x9=18l->18x4=72

...ca fait 72 hommes

[Héméra]

On sait que dans le rectangle 2 on a 36 hommes en plus,ils ont juste 3 possibilité pour se mettre en rectangles(en décomposant 36 en facteur premiers), on considère que les largeurs des rectangles moins la largeur des 36 hommes= coté du carré(N)

1)2 en largeur et 18 en longueur :N=(l+2+l-2)x18=36l->36x2=72

2)3 en largeur et 12 en longueur :N=(l+3-l-3)x12=24l->24x3=72

3)4 en largeur et 9 en longeur : N=(l+4+l-4)x9=18l->18x4=72

...ca fait 72 hommes

J'ai pas bien compris ce que tu as fait mais le résultat ne donne pas 72 hommes..

Il est chiant cet exo hein?

[misspudik]

J'ai pas bien compris ce que tu as fait mais le résultat ne donne pas 72 hommes..

Il est chiant cet exo hein?

Oui !mais je viens d'avoir une illumination(j'avais trouvé aussi 1296 ou un truc comme ca mais bon...),dc j'y arrive un peu.dis suis je sur la bonne voie si je considère que N=coté du carré et que L1=largeur rect1 et l2 celle du rectangle 2

J'ai trouvé enfin 1 seule solution, ca commence vraimment à me...

je suis persuadé qu'il n'ya que 3 facon de les placer:

Si N=18 alors y a 18² hommes soit 324. ou 324-36 dans les 2 rectangles soit rect 1:144hommes et rectangle 2 144+36=180 rect 1 (10x18) rect 2(8x18)+2x18

si N=9 alors y a 9² hommes soit 81 ou 81-36 dans les 2 rectangles soit 45 pour les 2 mais c'est impossible(45/2=22,5)

si N=12 alors y a 12² hommes soit 144 hommes dans les 2 rectangles soit rect 1 54 hommes et rectangle 2:36+54=90 hommes mais impossible car pas chiffre rond (rect 1:54/12=4,5 homme en largeur et rect 2:90/12=7,5 homme en largeur)

je dirais 324 hommes, si c'est pas ca, ben j'irais pas au concours!na!