petit exercice

[mamanstef]

En attendant la correction de l'ex 3, voici de quoi nous faire cogiter !

Un lait aromatisé est composé de 2 parts de chocolat pour 11 parts le lait pur.

Sachant que le chocolat est un mélange de 12 parts de sucre pour 1 part de cacao, quelle est la proportion de cacao contenue dans ce lait aromatisé ?

[Lukas]

Pour l'exo 3, j'en ai ch... mais je crois avoir trouvé

23 = T1x6 + T2x11

23 = T3x15 + T4x5

Ttotal = T1 + T2 = T3 +T4

Soit X la distance où est posé le vélo.

T1 = X / 6

T2 = (23-X) / 11

Ttotal = (X/6) + ((23-X)/11)

T3 = X /15

T4 = (23-X)/5

Ttotal =(X/15) + ((23-X)/5)

Ttotal = (X/6) + ((23-X)/11) = (X/15) + ((23-X)/5)

On développe et on trouve X = 12 km, le vélo est posé au bout de 12 km.

On remplace X par 12 et on trouve T1 = 2h, T2 = 1h (T1+T2=3h), T3 = 48min et T4 = 2h12min (T3+T4=3h)

Les deux personnages font les 23km en 3 heures.

[Dominique]

Proposition de solution pour l'exercice 3 :

1°) Soit d la distance en kilomètres entre l'endroit où Pepone a abandonné la bicyclette et la gare.

Distance parcourue par Pepone à bicyclette : 23 - d (en kilomètres)

Durée durant laquelle Pepone a roulé à bicyclette: (23 - d) /15 (en heures)

Distance parcourue par Don Camillo à pied : 23 - d (en kilomètres)

Durée durant laquelle Don Camillo a marché : (23 - d) / 6 (en heures)

Distance parcourue par Pepone en marchant : d (en kilomètres)

Durée durant laquelle Pepone a marché : d/5 (en heures)

Distance parcourue par Don Camillo à bicyclette : d (en kilomètres)

Durée durant laquelle Don Camillo a roulé à bicyclette : d/11 (en kilomètres)

Mise en équation :

Durée durant laquelle Don Camillo a marché + Durée durant laquelle Don Camillo a roulé à bicyclette = Durée durant laquelle Pepone a roulé à bicyclette + Durée durant laquelle Pepone a marché

(23 - d) / 6 + d/11 = (23 - d) /15 + d/5

On résout et on trouve : d = 11 (en km)

Pepone a abandonné la bicyclette à 11 km de la gare.

Remarques :

- Lukas dit que Pepone a abandonné la bicyclette après avoir parcouru 12 km. On trouve donc bien le même résultat puisque la longueur totale du trajet est égale à 23 km.

- ll vaut mieux finir en répondant à la question posée dans l'énoncé : " A quelle distance de la gare, Pepone a-t-il abandonné la bicyclette ?

2°) Durée du trajet :

Première méthode (on s'intéresse à Pepone) : (23 - 11) /15 + 11/5 = 12/15 + 11/5 = 4/5 + 11/5 = 15/5 = 3 (en heures)

Deuxième méthode (on s'intéresse à Don Camillo) : (23 - 11) /6 + 11/11 = 12/6 + 1 = 2 + 1 = 3 (en heures)

Le trajet a duré 3 heures.

[o0marion0o]

Pour l'exo 3, j'en ai ch... mais je crois avoir trouvé

23 = T1x6 + T2x11

23 = T3x15 + T4x5

Ttotal = T1 + T2 = T3 +T4

Soit X la distance où est posé le vélo.

T1 = X / 6

T2 = (23-X) / 11

Ttotal = (X/6) + ((23-X)/11)

T3 = X /15

T4 = (23-X)/5

Ttotal =(X/15) + ((23-X)/5)

Ttotal = (X/6) + ((23-X)/11) = (X/15) + ((23-X)/5)

On développe et on trouve X = 12 km, le vélo est posé au bout de 12 km.

On remplace X par 12 et on trouve T1 = 2h, T2 = 1h (T1+T2=3h), T3 = 48min et T4 = 2h12min (T3+T4=3h)

Les deux personnages font les 23km en 3 heures.

bien joué, je crois que je me suis trop compliqué la vie moi...

[Dominique]

Je suis à la recherche d'exercices qui nécessitent l'utilisation du PPCM ou du PGCD.

Exercice 1 :

1) Des photos, toutes de même format (18 cm x 24 cm) et toutes mises bord à bord dans le

même sens, recouvrent un panneau carré dont le côté mesure entre 3 et 4 mètres. Combien y

a-t-il de photos ?

2) Des photos de format carré (dont la mesure du côté en centimètres est un nombre entier

strictement compris entre 10 et 20) sont toutes mises bord à bord et recouvrent un panneau

rectangulaire de 2,40 m de long sur 1,80 m de large. Combien peut-il y avoir de photos ?

Exercice 2 :

Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que :

- tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,

- tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,

- toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.

1°) Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?

2°) Combien y aura-t-il de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?

Exercice 3 :

Soit un terrain triangulaire dont les côtés mesurent 120 m, 96 m et 72m.

On veut planter des piquets régulièrement espacés, en respectant la double contrainte suivante : il doit il y avoir un piquet à chaque sommet du triangle et l'écart entre les piquets doit être un nombre entier de mètres.

a) Quel est le nombre minimal de piquets nécessaires ?

b) Quel est le nombre maximal de piquets nécessaires ?

[mamanstef]

Je suis à la recherche d'exercices qui nécessitent l'utilisation du PPCM ou du PGCD.

Exercice 1 :

1) Des photos, toutes de même format (18 cm x 24 cm) et toutes mises bord à bord dans le

même sens, recouvrent un panneau carré dont le côté mesure entre 3 et 4 mètres. Combien y

a-t-il de photos ?

2) Des photos de format carré (dont la mesure du côté en centimètres est un nombre entier

strictement compris entre 10 et 20) sont toutes mises bord à bord et recouvrent un panneau

rectangulaire de 2,40 m de long sur 1,80 m de large. Combien peut-il y avoir de photos ?

Exercice 2 :

Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que :

- tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,

- tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,

- toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.

1°) Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?

2°) Combien y aura-t-il de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?

Exercice 3 :

Soit un terrain triangulaire dont les côtés mesurent 120 m, 96 m et 72m.

On veut planter des piquets régulièrement espacés, en respectant la double contrainte suivante : il doit il y avoir un piquet à chaque sommet du triangle et l'écart entre les piquets doit être un nombre entier de mètres.

a) Quel est le nombre minimal de piquets nécessaires ?

b) Quel est le nombre maximal de piquets nécessaires ?

Bon alors, je me lance

Ex 1)

1 je bloque ! !

2) soit X la longueur d'un côté du carré. X doit être en même temps un diviseur de 240 et un divisuer de 180, donc un diviseur de leur PGCD

240 = 2x2x2x2x5x3

180 = 2x2x3x3x5

Donc le PGDC (240,180) = 2²x3x5 = 60

On cherche donc les diciseurs de 60 (j'ai fait avec l'arbre de choix) et on trouve 2 diviseurs compris entre 10 et 20

X = 12 ou X = 15

l'aire totale est 240 x 180 = 43200

si X = 12, Aire du carré = 144 donc il y aura 300 photos

si X = 15 Aire du carré = 255 donc 192 photos

Ex 2)

Il doit y avoir le même nombre de billes rouge et de billes noires dans chaque paquet et toutes les billes sont utilisés. le nombre de paquet N est un divisuer commun à 108 et 135.

108 = 2x2x3x3x3

135 = 3x3x3x5

PGCD = 3x3x3 = 27

Donc il y aura 27 paquets constitués de 4 billes R et 5 billes N

Je n'ai pas encore regardé l'ex 3 !

A suivre !

[o0marion0o]

Bon alors, je me lance

Ex 1)

1 je bloque ! !

-> voilà ce que j'ai fait :

On cherche un nombre compris entre 300 et 400 et qui soit à la fois divisible par 18 et par 24

24 = 2x2x2x3

18 = 2x3x3

donc PPCM (18,24) = 2x2x2x3x3 = 72

on cherche donc un multiple de 72 compris entre 300 et 400 -> 72x5 = 360

Le coté du carré formé par les photos est égal à 360cm.

Donc dans la longueur on a 360 / 18 = 20 photos

Dans la largeur on a 360 / 24 = 15 photos

20x15 = 300 le carré est donc composé de 300 photos

2) soit X la longueur d'un côté du carré. X doit être en même temps un diviseur de 240 et un divisuer de 180, donc un diviseur de leur PGCD

240 = 2x2x2x2x5x3

180 = 2x2x3x3x5

Donc le PGDC (240,180) = 2²x3x5 = 60

On cherche donc les diciseurs de 60 (j'ai fait avec l'arbre de choix) et on trouve 2 diviseurs compris entre 10 et 20

X = 12 ou X = 15

l'aire totale est 240 x 180 = 43200

si X = 12, Aire du carré = 144 donc il y aura 300 photos

si X = 15 Aire du carré = 255 donc 192 photos

Ex 2)

Il doit y avoir le même nombre de billes rouge et de billes noires dans chaque paquet et toutes les billes sont utilisés. le nombre de paquet N est un divisuer commun à 108 et 135.

108 = 2x2x3x3x3

135 = 3x3x3x5

PGCD = 3x3x3 = 27

Donc il y aura 27 paquets constitués de 4 billes R et 5 billes N

Je n'ai pas encore regardé l'ex 3 !

A suivre !

En rouge ma réponse à la première question de l'exo 1

[mamanstef]

Ex 3)

On considére que les piquets sont espacés de la même distance x. x doit être un divisuers des 3 nombres 120, 96 et 72

120 = 2*2*2*5*3

96 = 2*2*2*2*2*6

72 = 2*2*2*3*3

PGCD = 2*2*2*3 = 24

Donc le nombre min de piquets correspond à un écartement maximal = à 24 m (le plus grand diviseur). Il y aura 288/24 = 12 piquets

le nombre max de piquets correspond à un écartement min soit le plus petit divisuer de 24 = 1 m. Il y aura 288 piquets

[o0marion0o]

Exercice 3 :

Soit un terrain triangulaire dont les côtés mesurent 120 m, 96 m et 72m.

On veut planter des piquets régulièrement espacés, en respectant la double contrainte suivante : il doit il y avoir un piquet à chaque sommet du triangle et l'écart entre les piquets doit être un nombre entier de mètres.

a) Quel est le nombre minimal de piquets nécessaires ?

b) Quel est le nombre maximal de piquets nécessaires ?

Quelqu'un aurait un aide mémoire pour savoir quand il s'agit du PPCM ou quand ils s'agit du PGCD ? je vois toujours quel type de calcul il faut faire pour arriver à la bonne réponse mais ne sait pas mettre un nom dessus et je pense que le jour du concours il est mieux de préciser...

VOilà ma réponse, en attendant

1) on cherche un nombre qui soit à la fois diviseur de 72 de 96 et de 120

72 = 2³x3²

96 = 2⁵x3

120 = 2³x3x5

donc le diviseur commun est 3x2³ = 24

72/24= 3

120/24=5

96/24=4

3+5+4 =12

On pourra installer au maximum 12 piquets.

2) comme l'écart entre les piquets doit être un nombre entier de mètres, le plus petit écart est de 1m (1 étant diviseur de tous les nombres) on a donc 72 + 120 + 96 = 288 piquets au maximum

[Dominique]

Quelqu'un aurait un aide mémoire pour savoir quand il s'agit du PPCM ou quand ils s'agit du PGCD ?

Quelques pistes dans ce document (voir page 2) : http://pernoux.perso.orange.fr/ppcm.pdf

[Dominique]

Propositions de solutions pour les trois exercices que j'ai proposés :

PPCM6PGCD.doc

[Dominique]

Un problème "prise de tête" d'un tout autre genre (extrait concours blanc Toulouse mars 2008) :

Alice, perdue dans la Forêt de l'Oubli, ne se souvenait jamais du jour de la semaine. Heureusement, un Lion et une Licorne visitaient souvent cette forêt étrange et pouvaient parfois la tirer de cette embarrassante ignorance.

Alice savait cependant que lundi, mardi et mercredi le Lion ne disait jamais une phrase vraie et ne mentait pas pendant le reste de la semaine.

La Licorne ne faisait que mentir le jeudi, vendredi et samedi et disait la vérité pendant les autres jours.

1. Alice surprit un jour la conversation suivante entre le Lion et la Licorne

- Lion : "Hier, je mentais."

- Licorne : "Moi aussi."

Alice avait un raisonnement logique infaillible. Elle a pu en déduire le jour de la semaine. Indiquer ce jour et le raisonnement utilisé.

2. Une autre fois, Alice rencontra seulement le Lion qui prononça les deux phrases suivantes :

- "Je mentais hier."

- "Je mentirai de nouveau dans trois jours."

Quel jour de la semaine cette rencontre a-t-elle eu lieu ? Justifier la réponse.

3. Déterminer, en justifiant la réponse, quels jours la phrase suivante a pu sortir de la gueule du Lion : "Hier je mentais et je mentirai de nouveau demain."

(D'après Raymond Sullivan What is the name of this book ?, Penguin books)